Existe un algoritmo muy elegante que puede, entre otras cosas, encontrar un conjunto generador mínimo para cualquier subgrupo finitamente generado de un grupo libre. Se describe en el siguiente artículo:
Stallings, John R. Topología de grafos finitos. Invent. Math. 71 (1983), no. 3, 551-565.
Merece la pena leer el artículo, uno de mis favoritos, pero el algoritmo puede describirse de forma bastante compacta. Consideremos un grafo dirigido con un vértice identificado (en el centro) y aristas etiquetadas por generadores de un grupo libre, como este:
![A directed graph with labelled edges]()
Podemos asociar cualquier ruta $P$ a lo largo de dicho grafo con un elemento $e_P$ de un grupo libre - donde, en cada arista del camino, multiplicamos por el generador asociado a esa arista si lo recorremos hacia delante y por el inverso de ese generador si lo recorremos hacia atrás. Por ejemplo, el camino que atraviesa el bucle de la derecha en el sentido de las agujas del reloj está asociado a $aba$ . Si consideramos el conjunto de todos los bucles basados en el punto marcado, los elementos asociados a estos bucles formarán un subgrupo, ya que podemos multiplicar dos bucles cualesquiera por concatenación e invertir un elemento recorriendo el bucle hacia atrás. Así que aquí he representado el grupo $\langle a^2, aba\rangle$ para simplificar.
Obsérvese que es trivial dibujar un grafo correspondiente a cualquier subgrupo finitamente generado: basta con dibujar un ramillete de bucles que se encuentren en el punto marcado, con cada bucle marcado y dirigido de forma que al atravesar el bucle se multiplique por un generador del subgrupo.
El paso inteligente consiste en observar que, si tenemos algún vértice con dos aristas salientes (o entrantes) con la misma etiqueta, podemos identificar los vértices con los que se conectan esas aristas sin cambiar el grupo asociado. Esto nos permitiría fusionar los dos vértices superiores del gráfico, por ejemplo:
![The prior graph with two vertices merged]()
Y podríamos repetir lo mismo, observando que el vértice marcado tiene dos aristas entrantes etiquetadas como $a$ lo que nos permite identificarlas también:
![The prior graph with two more vertices merged.]()
En este punto, hemos simplificado todo lo que hemos podido. Cabe destacar que ahora se trata de un grafo de transición para una máquina de estados finitos que reconoce palabras en el subgrupo. Una vez hecha esta reducción, encontrar un conjunto generador mínimo es fácil: tomemos cualquier árbol de expansión $T$ en el gráfico y, a continuación, para cada arista $e$ no en $T$ consideremos las trayectorias $p$ y $q$ que conecta el punto base con la fuente y el sumidero de $e$ respectivamente. Las concatenaciones $peq$ son bucles basados en el punto marcado y los elementos asociados a estos bucles son un conjunto generador mínimo para el subgrupo.
En este caso, no es demasiado interesante: si elegimos que el árbol de expansión esté formado por el camino inferior entre los nodos, obtenemos $\langle a^2, aba^{-1}\rangle$ como conjunto generador, y si elegimos el camino superior, obtendríamos $\langle a^{2}, a^{-1}ba\rangle$ lo cual no es sorprendente en absoluto. La cuestión, sin embargo, es que este algoritmo se puede aplicar a absolutamente cualquier subgrupo de un grupo libre, y da una prueba fácil de varios resultados sobre los grupos libres.
Si aplicaras este algoritmo al grupo en cuestión, obtendrías lo siguiente después de todo lo dicho y hecho - donde consideraremos que el punto inferior izquierdo es el punto base (que olvidé marcar):
![The Cayley graph of C_2^2]()
Puede que lo reconozcas como el grafo de Cayley de $C_2^2$ - lo cual, por supuesto, no es una coincidencia en absoluto, ya que para decidir si un elemento está en un subgrupo normal, basta con realizar multiplicaciones en el grupo cociente y ver si se acaba en la identidad, que es lo que sugiere este gráfico. Se obtendría un gráfico similar en los cosets si el grupo tuviera índice finito, aunque no fuera normal.
Podemos extraer directamente un conjunto mínimo de generadores del grafo de Cayley: elegir un árbol de expansión - por ejemplo, podríamos tomar las aristas correspondientes a los caminos $ab$ y los caminos $b^{-1}$ basado en los puntos de base. A continuación, para cada una de las demás aristas, formamos un generador. Esta elección particular de árbol de expansión produciría el siguiente grupo generador: $$\langle a^2, ab^2a^{-1}, (ab)^2, aba^{-1}b, b^2\rangle$$ Que sólo tiene cinco elementos.
Observa que si quisieras recuperar cómo escribir un elemento arbitrario del subgrupo en términos de estos generadores, encontrarías el bucle correspondiente a ese elemento arbitrario (lo cual es fácil). Cada arista de este bucle fuera del árbol de expansión corresponde a uno de los elementos del conjunto generador anterior (o a su inverso, si fueras hacia atrás sobre la arista) - y si multiplicas juntos esos generadores correspondientes, obtendrás el elemento con el que empezaste.
También hay que tener en cuenta que esto proporciona una manera fácil de demostrar la fórmula de Schrier mencionada en otras respuestas (...aunque hay que trabajar un poco más para que todo esto sea riguroso) - y lo hace sin recurrir a la topología algebraica (aunque la conexión con la topología algebraica es bastante clara).
