Recomiendo esta revisión para un análisis detallado del análisis dimensional en la relatividad, su conexión con los significados operativos de los tensores, y una revisión de la literatura:
He aquí un resumen del mismo.
Para el análisis dimensional utilizo ISO 80000 convenciones y notación. A veces utilizo notaciones como $\pmb{T}{}_{\bullet}{}^{\bullet}$ para indicar que el tensor $\pmb{T}$ es covariante en su primera ranura y contravariante en la segunda; lo llamo "tensor co-contra-variante".
Coordenadas
En primer lugar, una coordenada no es más que una función que asocia una magnitud física a cada acontecimiento en la multiplicidad (espaciotemporal) o en una región de ésta. Junto con las demás coordenadas, dicha función nos permite identificar unívocamente el suceso dentro de esa región. Por tanto, una coordenada puede tener cualquier unidad dimensional. Podría ser la distancia a algo, y por tanto tener dimensiones $\mathrm{L}$ o el tiempo transcurrido desde algo, y así $\mathrm{T}$ o un ángulo, $1$ o incluso una temperatura, dimensiones $\Theta$ .
Las dimensiones de las coordenadas no importan, como veremos a continuación.
Tensores
Consideremos un sistema de coordenadas $(x^i)$ con dimensiones $(\mathrm{X}_i)$ .
Comenzando con un ejemplo, tomemos un tensor contra-contra-co-variante $\pmb{A}$ con componentes $(A{}^{ij}{}_k)$ en algún sistema de coordenadas. Entonces el componente $A{}^{ij}{}_k$ debe tener las siguientes dimensiones: $$ \dim(A{}^{ij}{}_k) = \mathrm{D}\, \mathrm{X}_i \, \mathrm{X}_j \, {\mathrm{X}_k}^{-1},\tag{1}\label{1} $$ donde $\mathrm{D}$ es el mismo en todos los componentes. La razón es sencilla. Escrito en forma invariante, el tensor es $$\begin{aligned} \pmb{A} &= A{}^{ij}{}_k\;\partial_{x^i}\otimes\partial_{x^j}\otimes\mathrm{d}x^k \\ &\equiv A{}^{00}{}_0\;\partial_{x^0}\otimes\partial_{x^0}\otimes\mathrm{d}x^0 +A{}^{00}{}_1\;\partial_{x^0}\otimes\partial_{x^0}\otimes\mathrm{d}x^1 +\dotsb \end{aligned}$$ y todos los términos deben tener las mismas dimensiones. Esto sólo es posible si los componentes tienen dimensiones como en $\eqref{1}$ . Esto también significa que $\dim\pmb{A} = \mathrm{D}$ independientemente de las coordenadas. Para la presente discusión podemos llamarlas las dimensiones "absolutas" del tensor. Creo que éste es el punto de vista y la terminología de Schouten (1989), cap. VI. VI.
Lo que acabamos de ver es obviamente coherente con los cambios de coordenadas. Por ejemplo, transformando componentes a un sistema primado, $$ A'{}^{ij}{}_{k} = A{}^{lm}{}_{n}\; \frac{\partial x'{}^i}{\partial {x}^{l}}\, \frac{\partial x'{}^j}{\partial {x}^{m}}\, \frac{\partial x^n}{\partial x'{}^{k}} $$ y los coeficientes de transformación se encargan de los cambios dimensionales.
Este ejemplo se generaliza a tensores de cualquier tipo de forma obvia.
Operaciones tensoriales
Aplicando el tipo de razonamiento que acabamos de discutir podemos encontrar el efecto dimensional de las principales operaciones sobre tensores:
- multiplicación tensorial $\otimes$ multiplica las dimensiones: $\dim(\pmb{A}\otimes\pmb{B}) = \dim(\pmb{A})\dim(\pmb{B})$ ;
- lo mismo para el producto exterior $\land$ ;
- lo mismo para la contracción ( ¡pero sin subir ni bajar los índices! véase más abajo);
- pull-back y empujar hacia adelante no cambian las dimensiones del tensor que mapean;
- el Derivada de Lie con respecto a un campo vectorial $\pmb{v}$ multiplica por las dimensiones absolutas de este vector: $\dim(\mathrm{L}_{\pmb{v}}\pmb{A}) =\dim(\pmb{v})\dim(\pmb{A})$ ;
- lo mismo para el producto interior $\mathrm{i}_{\pmb{v}}$ ;
- el derivada exterior $\mathrm{d}$ no altera las dimensiones del formulario sobre el que opera: $\dim(\mathrm{d}\pmb{\omega}) = \dim(\pmb{\omega})$ (podríamos utilizar el Identidad de Cartan para comprobarlo);
- lo mismo para el integración de un formulario sobre un submanifold;
- el operador de derivada covariante $\nabla$ tampoco altera las dimensiones: $\dim(\nabla\pmb{A}) = \dim(\pmb{A})$ . Pero tenga en cuenta que $\dim(\nabla_{\pmb{v}}\pmb{A}) = \dim(\pmb{v})\dim(\pmb{A})$ .
El efecto dimensional del operador derivada covariante puede comprobarse rápidamente observando que la expresión de $\nabla\pmb{A}$ contiene el siguiente término: $$ \nabla\pmb{A} = \dotsb + \partial_{x^l}A{}^{ij}{}_{k}\; \partial_{x^i}\otimes\partial_{x^j}\otimes\mathrm{d}x^k\otimes\mathrm{d}x^l +\dotsb. $$ De la misma expresión se deduce que
- el Símbolo de Christoffel $\varGamma{}^i{}_{jk}$ tiene unas dimensiones $$\dim(\varGamma{}^i{}_{jk}) = \mathrm{X}_i\,{\mathrm{X}_j}^{-1}\,{\mathrm{X}_k}^{-1}.$$
Curvas
Consideremos una curva del colector, $c\colon s \mapsto P$ donde el parámetro $s$ tiene dimensión $\mathrm{S}$ . Si consideramos el colector como "adimensional" (si esto tiene sentido), entonces las dimensiones del vector tangente $\dot{c}$ a la curva son $\dim(\dot{c}) = \mathrm{S}^{-1}$ . Esto se deduce bien de $\dot{c} := \partial x^i[c(s)]/\partial s\; \partial_{x^i}$ o considerando que $\dot{c}$ puede interpretarse como el impulso de $\partial_s$ Eso es, $c_*(\partial_s)$ .
Tensor métrico
De lo anterior se desprende que el componente $g_{ij}$ de la métrica $\pmb{g}$ tiene unas dimensiones $\dim(g_{ij}) = \mathrm{Z}\,\mathrm{X}_i\,{\mathrm{X}_j}^{-1}\,{\mathrm{X}_k}^{-1}$ donde $\mathrm{Z}$ son las dimensiones absolutas de la métrica. ¿Cuáles son estas dimensiones absolutas?
La respuesta probablemente dependa de cómo se vea el significado operativo de la métrica. Aquí ofrezco mi punto de vista personal. Podemos utilizar la métrica para medir la "longitud" de trayectorias (temporales o espaciales) en el espaciotiempo. La "longitud" de una trayectoria $c(s)$ con $s\in [a,b]$ es $$ \int_a^b\!\!\!\mathrm{d}s\; \sqrt{\Bigl\lvert g_{ij}[c(s)]\;\dot{c}^i(s)\,\dot{c}^j(s) \Bigr\rvert}. $$ Vemos que esta "longitud" tiene dimensiones $\mathrm{Z}^{1/2}$ (y no inesperadamente no depende de las dimensiones del parámetro de la curva $s$ ). Por lo tanto $$\dim(\pmb{g})=\mathrm{L}^2\ .$$
Sin embargo, obsérvese que algunos autores importantes de relatividad (véanse las referencias en la revisión citada anteriormente) se centran en como el tiempo caminos, cuya "longitud" es medida por un reloj que tiene ese camino como línea del mundo - es su tiempo propio. Así, algunos autores definen $$\dim(\pmb{g})=\mathrm{T}^2\ .$$
Por nuestro argumento habitual es posible ver que el Curvatura de Riemann tensor $\pmb{R}{}^{\bullet}{}_{\bullet\bullet\bullet}$ El Ricci tensor $\pmb{R}_{\bullet\bullet}$ y el tensor de Einstein $\pmb{G}_{\bullet\bullet}$ son adimensionales - $1$ - y la curvatura escalar tiene dimensiones $\mathrm{L}^{-2}$ . Nótese que los tensores de Riemann y Ricci (con el tipo contra/co-variante especificado anteriormente) no requieren una métrica para su definición, sino una conexión afín. Son adimensionales independientemente de las dimensiones que demos a la métrica. Por construcción, el tensor de Einstein (totalmente covariante) también es siempre adimensional.
Una operación importante realizada con la métrica:
- "bajar un índice" de un tensor multiplica sus dimensiones por $\mathrm{L}^2$ y "subiendo un índice" los multiplica por $\mathrm{L}^{-2}$ (si está de acuerdo con mi discusión anterior).
Tensor tensión-energía-momento
Cuáles son las dimensiones absolutas del tensor tensión-energía-momento co-contra-variante $\pmb{T}{}_{\bullet}{}^{\bullet}$ ? También aquí debemos buscar un significado operativo. Todavía hay investigaciones en curso sobre este asunto (véase la reseña anterior). Los puntos principales se resumen en esta respuesta . La literatura ofrece tres convenciones principales:
-
$\operatorname{dim}(\pmb{T}) := \mathrm{E}\mathrm{L}^{-1} = \mathrm{M} \mathrm{L} \mathrm{T}^{-2}$
-
$\operatorname{dim}(\pmb{T}) := \mathrm{M} \mathrm{L}^{-1}$
-
$\operatorname{dim}(\pmb{T}) := \mathrm{M}\mathrm{L}^{-3} \mathrm{T}^{2}$
La primera es, con mucho, la más común, la segunda es utilizada por unos pocos pero importantes autores, la tercera por McVittie.
Constante de Einstein
Constante de Einstein $\kappa$ relaciona por tanto una cantidad adimensional y la dimensión del tensor tensión-energía-momento: $$\operatorname{dim}(\pmb{G}_{\bullet\bullet}) = \operatorname{dim}(\kappa) \times \operatorname{dim}(\pmb{T}_{\bullet\bullet})\ .$$
Si utilizamos la convención 1. anterior, entonces se ve fácilmente que $\operatorname{dim}(\kappa) = \mathrm{E}^{-1}\,\mathrm{L}$ y éstas son las dimensiones de $8\pi G/c^4$ . Es la convención más utilizada.
Si utilizamos la convención 2. anterior, entonces $\operatorname{dim}(\kappa) = \mathrm{M}^{-1}\,\mathrm{L}$ y éstas son las dimensiones de $8 \pi G/c^2$ . Este valor de la constante de Einstein es, en efecto, el utilizado por Fock (1964 p. 199) y algunos otros autores (p. ej. Synge, Adler-Bazin-Schiffer, McVittie).
Referencias adicionales
- Burke (1980): Espaciotiempo, Geometría, Cosmología (Libros universitarios de ciencias)
- Burke (1987): Geometría diferencial aplicada (Cambridge)
- Eckart (1940): La termodinámica de los procesos irreversibles. III. Teoría relativista del fluido simple Phys. Rev. 58, 919.
- Fock (1964): Teoría del espacio, el tiempo y la gravitación (Pergamon)
- Misner, Thorne, Wheeler (1973): Gravitación (Freeman)
- Schouten (1989): Análisis tensorial para físicos (Dover, 2ª ed.)
