Estoy leyendo Introduction to Smooth Manifolds, 2ª edición, de Lee, y resulta que leo una frase en una demostración de la proposición 5.2 que dice así:
Con esta estructura lisa en SS el mapa FF es un difeomorfismo sobre su imagen, y ésta es obviamente la única estructura suave con esta propiedad.
Tal vez me haya perdido algo de los capítulos anteriores, pero esto no me resulta evidente a primera vista. Tal vez probaría lo siguiente:
Diga F:M→NF:M→N es un homeomorfismo entre dos variedades topológicas. Dotamos MM con una sola estructura lisa, y NN con dos estructuras lisas C1C1 y C2C2 tal que FF es un difeomorfismo en ambos casos. Demostraríamos que C1=C2C1=C2 . Debido a la base simétrica, basta con demostrar C1⊆C2C1⊆C2 .
Observe id=F∘F−1:(S,C1)→(S,C2)id=F∘F−1:(S,C1)→(S,C2) es un difeomorfismo. Para demostrar C1⊆C2C1⊆C2 Creo que esto podría afirmarse y demostrarse de forma más general:
Para un difeomorfismo f:X→Yf:X→Y y cualquier gráfico suave (U,φ)(U,φ) en XX tenemos que (f(U),φ∘f−1)(f(U),φ∘f−1) es un gráfico suave en YY .
Ahora dejemos que (U,φ)(U,φ) sea un gráfico suave en XX y (V,ψ)(V,ψ) sea un gráfico suave en YY . Debemos mostrar ψ∘f∘φ−1:φ∘f−1(f(U)∩V)→ψ(f(U)∩V)ψ∘f∘φ−1:φ∘f−1(f(U)∩V)→ψ(f(U)∩V) y φ∘f−1∘ψ−1:ψ(f(U)∩V)→φ∘f−1(f(U)∩V)φ∘f−1∘ψ−1:ψ(f(U)∩V)→φ∘f−1(f(U)∩V) son suaves como mapas entre subconjuntos de Rn,Rm donde f(U)∩V es no vacío por no trivialidad.
Para un punto p∈f−1(f(U)∩V) por suavidad de f Elige un gráfico (Up,φp) que contiene p un gráfico (Vf(p),ψf(p)) que contiene f(p) tal que f(Up)⊆Vf(p) y ψf(p)∘f∘φ−1p:φp(Up)→ψf(p)(Vf(p)) es suave. Impongamos también que Up⊆f−1(f(U)∩V) ; si no, podemos utilizar el gráfico (Up∩f−1(f(U)∩V),φ|Up∩f−1(f(U)∩V)) en lugar de (Up,φp) que sigue cumpliendo las condiciones anteriores.
Obsérvese ahora que la composición de mapas suaves (ψ∘ψ−1f(p))∘(ψf(p)∘f∘φ−1p)∘(φp∘φ−1) es suave. La cancelación da que la composición es suave en el dominio de definición. Comprobaremos que el dominio es una vecindad de φ(p) .
Para comprobarlo, observe la condición Up⊆f−1(f(U)∩V) da Up⊆U de modo que el mapa de transición φp∘φ−1 tiene dominio y codominio φ(Up) y φp(Up) respectivamente; las condiciones Up⊆f−1(f(U)∩V) y f(Up)⊆Vp da f(Up)⊆Vf(p)∩V de modo que el mapa ψf(p)∘f∘φ−1p tiene rango siendo un subconjunto de ψf(p)(Vf(p)∩V) el mapa de transición ψ∘ψ−1f(p) tiene dominio ψf(p)(Vf(p)∩V) . Por lo tanto, (ψ∘ψ−1f(p))∘(ψf(p)∘f∘φ−1p)∘(φp∘φ−1) se define en toda la vecindad φ(Up) de φ(p) . Dado que esta función ψ∘f∘φ−1 es localmente suave alrededor de cada punto φ(p)∈φ∘f−1(f(U)∩V) es suave en todo el conjunto φ∘f−1(f(U)∩V) .
Suavidad de φ∘f−1∘ψ−1 se demuestra de forma similar: para cada punto p′∈f(U)∩V , elija un gráfico (Vp′,ψp′) que contiene p′ un gráfico (Uf−1(p′),φf−1(p′)) que contiene f−1(p′) tal que f−1(Vp′)⊆Uf−1(p′) y φf−1(p′)∘f−1∘ψ−1p′ es suave. Imponer Vp′⊆f(U)∩V . Entonces podemos demostrar φ∘f−1∘ψ−1 es localmente suave alrededor de ψ(p′) con los mismos argumentos anteriores.
¿Es correcta la prueba anterior? ¿Existe una prueba más corta para la afirmación anterior? ¿O se ha demostrado esto en el libro pero lo he pasado por alto?
Editar : Incluiré aquí todo el enunciado de la Proposición 5.2.
Supongamos que M es una variedad lisa con o sin límites, N es una variedad lisa, y F:N→M es una incrustación suave. Sea S=F(N) . Con la topología subespacial, S es una colector topológico, y tiene una única estructura suave que lo convierte en un submanifold incrustado de M con la propiedad de que F es un difeomorfismo sobre su imagen.