¿"Función identidad es difeomorfismo" implica que las dos estructuras lisas son iguales?

Question

Estoy leyendo Introduction to Smooth Manifolds, 2ª edición, de Lee, y resulta que leo una frase en una demostración de la proposición 5.2 que dice así:

Con esta estructura lisa en $S$ el mapa $F$ es un difeomorfismo sobre su imagen, y ésta es obviamente la única estructura suave con esta propiedad.

Tal vez me haya perdido algo de los capítulos anteriores, pero esto no me resulta evidente a primera vista. Tal vez probaría lo siguiente:

Diga $F:M\to N$ es un homeomorfismo entre dos variedades topológicas. Dotamos $M$ con una sola estructura lisa, y $N$ con dos estructuras lisas $C_1$ y $C_2$ tal que $F$ es un difeomorfismo en ambos casos. Demostraríamos que $C_1=C_2$ . Debido a la base simétrica, basta con demostrar $C_1\subseteq C_2$ .

Observe $id=F\circ F^{-1}:(S,C_1)\to (S,C_2)$ es un difeomorfismo. Para demostrar $C_1\subseteq C_2$ Creo que esto podría afirmarse y demostrarse de forma más general:

Para un difeomorfismo $f:X\to Y$ y cualquier gráfico suave $(U,\varphi)$ en $X$ tenemos que $(f(U),\varphi\circ f^{-1})$ es un gráfico suave en $Y$ .

Ahora dejemos que $(U,\varphi)$ sea un gráfico suave en $X$ y $(V,\psi)$ sea un gráfico suave en $Y$ . Debemos mostrar $\psi\circ f\circ\varphi^{-1}:\varphi\circ f^{-1}(f(U)\cap V)\to\psi(f(U)\cap V)$ y $\varphi\circ f^{-1}\circ\psi^{-1}:\psi(f(U)\cap V)\to\varphi\circ f^{-1}(f(U)\cap V)$ son suaves como mapas entre subconjuntos de $\Bbb R^n,\Bbb R^m$ donde $f(U)\cap V$ es no vacío por no trivialidad.

Para un punto $p\in f^{-1}(f(U)\cap V)$ por suavidad de $f$ Elige un gráfico $(U_p,\varphi_p)$ que contiene $p$ un gráfico $(V_{f(p)},\psi_{f(p)})$ que contiene $f(p)$ tal que $f(U_p)\subseteq V_{f(p)}$ y $\psi_{f(p)}\circ f\circ\varphi_p^{-1}:\varphi_p(U_p)\to\psi_{f(p)}(V_{f(p)})$ es suave. Impongamos también que $U_p\subseteq f^{-1}(f(U)\cap V)$ ; si no, podemos utilizar el gráfico $(U_p\cap f^{-1}(f(U)\cap V),\varphi|_{U_p\cap f^{-1}(f(U)\cap V)})$ en lugar de $(U_p,\varphi_p)$ que sigue cumpliendo las condiciones anteriores.

Obsérvese ahora que la composición de mapas suaves $(\psi\circ\psi_{f(p)}^{-1})\circ(\psi_{f(p)}\circ f\circ\varphi_p^{-1})\circ(\varphi_p\circ\varphi^{-1})$ es suave. La cancelación da que la composición es suave en el dominio de definición. Comprobaremos que el dominio es una vecindad de $\varphi(p)$ .

Para comprobarlo, observe la condición $U_p\subseteq f^{-1}(f(U)\cap V)$ da $U_p\subseteq U$ de modo que el mapa de transición $\varphi_p\circ\varphi^{-1}$ tiene dominio y codominio $\varphi(U_p)$ y $\varphi_p(U_p)$ respectivamente; las condiciones $U_p\subseteq f^{-1}(f(U)\cap V)$ y $f(U_p)\subseteq V_p$ da $f(U_p)\subseteq V_{f(p)}\cap V$ de modo que el mapa $\psi_{f(p)}\circ f\circ\varphi_p^{-1}$ tiene rango siendo un subconjunto de $\psi_{f(p)}(V_{f(p)}\cap V)$ el mapa de transición $\psi\circ\psi_{f(p)}^{-1}$ tiene dominio $\psi_{f(p)}(V_{f(p)}\cap V)$ . Por lo tanto, $(\psi\circ\psi_{f(p)}^{-1})\circ(\psi_{f(p)}\circ f\circ\varphi_p^{-1})\circ(\varphi_p\circ\varphi^{-1})$ se define en toda la vecindad $\varphi(U_p)$ de $\varphi(p)$ . Dado que esta función $\psi\circ f\circ\varphi^{-1}$ es localmente suave alrededor de cada punto $\varphi(p)\in\varphi\circ f^{-1}(f(U)\cap V)$ es suave en todo el conjunto $\varphi\circ f^{-1}(f(U)\cap V)$ .

Suavidad de $\varphi\circ f^{-1}\circ\psi^{-1}$ se demuestra de forma similar: para cada punto $p'\in f(U)\cap V$ , elija un gráfico $(V_{p'},\psi_{p'})$ que contiene $p'$ un gráfico $(U_{f^{-1}(p')},\varphi_{f^{-1}(p')})$ que contiene $f^{-1}(p')$ tal que $f^{-1}(V_{p'})\subseteq U_{f^{-1}(p')}$ y $\varphi_{f^{-1}(p')}\circ f^{-1}\circ\psi_{p'}^{-1}$ es suave. Imponer $V_{p'}\subseteq f(U)\cap V$ . Entonces podemos demostrar $\varphi\circ f^{-1}\circ\psi^{-1}$ es localmente suave alrededor de $\psi(p')$ con los mismos argumentos anteriores.

¿Es correcta la prueba anterior? ¿Existe una prueba más corta para la afirmación anterior? ¿O se ha demostrado esto en el libro pero lo he pasado por alto?

Editar : Incluiré aquí todo el enunciado de la Proposición 5.2.

Supongamos que $M$ es una variedad lisa con o sin límites, $N$ es una variedad lisa, y $F:N\to M$ es una incrustación suave. Sea $S=F(N)$ . Con la topología subespacial, $S$ es una colector topológico, y tiene una única estructura suave que lo convierte en un submanifold incrustado de $M$ con la propiedad de que $F$ es un difeomorfismo sobre su imagen.

Answer 1

El submanifold incrustado $S$ hereda una única estructura lisa de la variedad $M$ . Con esta estructura la inclusión $\mathcal i:S \to M$ es una incrustación. Sin embargo, hay que tener en cuenta que puede haber más de un atlas que defina esta estructura. Estos atlas se denominan compatible ...

Está claro que si tomáramos una diferente estructura lisa, es decir, definida por atlas no suavemente equivalente a la anterior, $F$ ya no sería un difeomorfismo. ..

Entonces, digamos $\phi_\alpha \circ \psi_\beta^{-1}$ no es un difeomorfismo .. entonces $F\circ \psi_\beta^{-1}$ tampoco. .. porque, digamos $g=F\circ \psi_\beta^{-1}$ es un difeomorfismo. entonces $\phi_\alpha \circ F^{-1}\circ g=\phi_\alpha \circ \psi_\beta^{-1}$ sería un difeomorfismo. ..

Y ahora creo que tienes razón, no se refería hasta el difeomorfismo. Los mapas incompatibles pueden definir estructuras lisas difeomorfas, como en el ejemplo de @Ben. .. ( $(\mathbb R, id)$ y $(\mathbb R, x\to x^3)$ )

Answer 2

He aquí una posible razón por la que podría estar bien llamarlo "obvio". Se trata de una combinación directa de tres observaciones básicas. Permítanme utilizar la definición provisional de que una cuadro topológico en un espacio topológico $X$ es un par $(U,\varphi)$ de un subconjunto abierto $U\subset X$ y un homeomorfismo $\varphi\colon U\to U'$ en cualquier subconjunto abierto $U'$ de algunos $\mathbb{R}^n$ .

1. Sea $U,V,W$ sean variedades lisas. Si $f\colon U\to V$ es un difeomorfismo, entonces un mapa $g\colon V\to W$ es un difeomorfismo si y sólo si $g\circ f\colon U\to W$ es un difeomorfismo.

2. El atlas máximo de una variedad lisa $X$ es el conjunto de cartas topológicas $(U,\varphi)$ en $X$ donde $\varphi\colon U\to U'$ es un difeomorfismo. (Nótese que esto es de alguna manera recursivo ya que estamos tomando $U$ con la estructura diferenciable heredada naturalmente de $X$ ; este es exactamente el truco aquí).

3. Sea $f\colon X\to Y$ sea un homeomorfismo entre variedades topológicas. Para cada carta topológica $(U,\varphi)$ en $X$ obtenemos un gráfico topológico $f_*(U,\varphi):=(f(U),\varphi\circ f^{-1}|_{f(U)})$ en $Y$ y cada carta topológica en $Y$ es de esta forma, ya que el proceso puede invertirse trazando una carta topológica sobre $Y$ , $(V,\psi)$ a la carta topológica $f^*(V,\psi) := (f^{-1}(V),\psi\circ f|_{f^{-1}(V)})$ en $X$ .

En combinación, vemos que si $f\colon X\to Y$ es un difeomorfismo, entonces podemos recuperar el atlas maximal $A_Y$ (por lo tanto, la estructura lisa) de $Y$ del atlas maximal $A_X$ de $X$ como sigue. Un gráfico topológico $(V,\psi)$ en $Y$ es en realidad un gráfico, es decir, $(V,\psi)\in A_Y$ si y sólo si $\psi$ es un difeomorfismo; pero éste es el caso si y sólo si $\psi\circ f|_{f^{-1}V}$ es un difeomorfismo y esto, de hecho, significa precisamente $f^*(V,\psi)\in A_X$ . Así, obtenemos un par de biyecciones inversas $f_*\colon A_X\to A_Y$ y $f^*\colon A_Y\to A_X$ . En particular, la estructura lisa sobre $Y$ Eso es, $A_Y =\{f_*(U,\varphi)\mid(U,\varphi)\in A_X\}$ está determinada unívocamente por $(X,A_X)$ y $f$ .