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¿"Función identidad es difeomorfismo" implica que las dos estructuras lisas son iguales?

Estoy leyendo Introduction to Smooth Manifolds, 2ª edición, de Lee, y resulta que leo una frase en una demostración de la proposición 5.2 que dice así:

Con esta estructura lisa en SS el mapa FF es un difeomorfismo sobre su imagen, y ésta es obviamente la única estructura suave con esta propiedad.

Tal vez me haya perdido algo de los capítulos anteriores, pero esto no me resulta evidente a primera vista. Tal vez probaría lo siguiente:

Diga F:MNF:MN es un homeomorfismo entre dos variedades topológicas. Dotamos MM con una sola estructura lisa, y NN con dos estructuras lisas C1C1 y C2C2 tal que FF es un difeomorfismo en ambos casos. Demostraríamos que C1=C2C1=C2 . Debido a la base simétrica, basta con demostrar C1C2C1C2 .

Observe id=FF1:(S,C1)(S,C2)id=FF1:(S,C1)(S,C2) es un difeomorfismo. Para demostrar C1C2C1C2 Creo que esto podría afirmarse y demostrarse de forma más general:

Para un difeomorfismo f:XYf:XY y cualquier gráfico suave (U,φ)(U,φ) en XX tenemos que (f(U),φf1)(f(U),φf1) es un gráfico suave en YY .

Ahora dejemos que (U,φ)(U,φ) sea un gráfico suave en XX y (V,ψ)(V,ψ) sea un gráfico suave en YY . Debemos mostrar ψfφ1:φf1(f(U)V)ψ(f(U)V)ψfφ1:φf1(f(U)V)ψ(f(U)V) y φf1ψ1:ψ(f(U)V)φf1(f(U)V)φf1ψ1:ψ(f(U)V)φf1(f(U)V) son suaves como mapas entre subconjuntos de Rn,Rm donde f(U)V es no vacío por no trivialidad.

Para un punto pf1(f(U)V) por suavidad de f Elige un gráfico (Up,φp) que contiene p un gráfico (Vf(p),ψf(p)) que contiene f(p) tal que f(Up)Vf(p) y ψf(p)fφ1p:φp(Up)ψf(p)(Vf(p)) es suave. Impongamos también que Upf1(f(U)V) ; si no, podemos utilizar el gráfico (Upf1(f(U)V),φ|Upf1(f(U)V)) en lugar de (Up,φp) que sigue cumpliendo las condiciones anteriores.

Obsérvese ahora que la composición de mapas suaves (ψψ1f(p))(ψf(p)fφ1p)(φpφ1) es suave. La cancelación da que la composición es suave en el dominio de definición. Comprobaremos que el dominio es una vecindad de φ(p) .

Para comprobarlo, observe la condición Upf1(f(U)V) da UpU de modo que el mapa de transición φpφ1 tiene dominio y codominio φ(Up) y φp(Up) respectivamente; las condiciones Upf1(f(U)V) y f(Up)Vp da f(Up)Vf(p)V de modo que el mapa ψf(p)fφ1p tiene rango siendo un subconjunto de ψf(p)(Vf(p)V) el mapa de transición ψψ1f(p) tiene dominio ψf(p)(Vf(p)V) . Por lo tanto, (ψψ1f(p))(ψf(p)fφ1p)(φpφ1) se define en toda la vecindad φ(Up) de φ(p) . Dado que esta función ψfφ1 es localmente suave alrededor de cada punto φ(p)φf1(f(U)V) es suave en todo el conjunto φf1(f(U)V) .

Suavidad de φf1ψ1 se demuestra de forma similar: para cada punto pf(U)V , elija un gráfico (Vp,ψp) que contiene p un gráfico (Uf1(p),φf1(p)) que contiene f1(p) tal que f1(Vp)Uf1(p) y φf1(p)f1ψ1p es suave. Imponer Vpf(U)V . Entonces podemos demostrar φf1ψ1 es localmente suave alrededor de ψ(p) con los mismos argumentos anteriores.

¿Es correcta la prueba anterior? ¿Existe una prueba más corta para la afirmación anterior? ¿O se ha demostrado esto en el libro pero lo he pasado por alto?

Editar : Incluiré aquí todo el enunciado de la Proposición 5.2.

Supongamos que M es una variedad lisa con o sin límites, N es una variedad lisa, y F:NM es una incrustación suave. Sea S=F(N) . Con la topología subespacial, S es una colector topológico, y tiene una única estructura suave que lo convierte en un submanifold incrustado de M con la propiedad de que F es un difeomorfismo sobre su imagen.

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Chris Custer Puntos 67

El submanifold incrustado S hereda una única estructura lisa de la variedad M . Con esta estructura la inclusión i:SM es una incrustación. Sin embargo, hay que tener en cuenta que puede haber más de un atlas que defina esta estructura. Estos atlas se denominan compatible ...

Está claro que si tomáramos una diferente estructura lisa, es decir, definida por atlas no suavemente equivalente a la anterior, F ya no sería un difeomorfismo. ..

Entonces, digamos ϕαψ1β no es un difeomorfismo .. entonces Fψ1β tampoco. .. porque, digamos g=Fψ1β es un difeomorfismo. entonces ϕαF1g=ϕαψ1β sería un difeomorfismo. ..

Y ahora creo que tienes razón, no se refería hasta el difeomorfismo. Los mapas incompatibles pueden definir estructuras lisas difeomorfas, como en el ejemplo de @Ben. .. ( (R,id) y (R,xx3) )

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geeklin Puntos 428

He aquí una posible razón por la que podría estar bien llamarlo "obvio". Se trata de una combinación directa de tres observaciones básicas. Permítanme utilizar la definición provisional de que una cuadro topológico en un espacio topológico X es un par (U,φ) de un subconjunto abierto UX y un homeomorfismo φ:UU en cualquier subconjunto abierto U de algunos Rn .

  1. Sea U,V,W sean variedades lisas. Si f:UV es un difeomorfismo, entonces un mapa g:VW es un difeomorfismo si y sólo si gf:UW es un difeomorfismo.

  2. El atlas máximo de una variedad lisa X es el conjunto de cartas topológicas (U,φ) en X donde φ:UU es un difeomorfismo. (Nótese que esto es de alguna manera recursivo ya que estamos tomando U con la estructura diferenciable heredada naturalmente de X ; este es exactamente el truco aquí).

  3. Sea f:XY sea un homeomorfismo entre variedades topológicas. Para cada carta topológica (U,φ) en X obtenemos un gráfico topológico f(U,φ):=(f(U),φf1|f(U)) en Y y cada carta topológica en Y es de esta forma, ya que el proceso puede invertirse trazando una carta topológica sobre Y , (V,ψ) a la carta topológica f(V,ψ):=(f1(V),ψf|f1(V)) en X .

En combinación, vemos que si f:XY es un difeomorfismo, entonces podemos recuperar el atlas maximal AY (por lo tanto, la estructura lisa) de Y del atlas maximal AX de X como sigue. Un gráfico topológico (V,ψ) en Y es en realidad un gráfico, es decir, (V,ψ)AY si y sólo si ψ es un difeomorfismo; pero éste es el caso si y sólo si ψf|f1V es un difeomorfismo y esto, de hecho, significa precisamente f(V,ψ)AX . Así, obtenemos un par de biyecciones inversas f:AXAY y f:AYAX . En particular, la estructura lisa sobre Y Eso es, AY={f(U,φ)(U,φ)AX} está determinada unívocamente por (X,AX) y f .

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