¿Qué funciones son distribuciones atemperadas?

Question

El problema actual tiene su origen en cette conversación con Willie Wong sobre la transformada de Fourier de una función gaussiana

$$g_{\sigma}(x)=e^{-\sigma \lvert x \rvert^2},\quad x \in \mathbb{R}^n;$$

donde $\sigma$ es un parámetro complejo. Cuando $\Re (\sigma) \ge 0$ , $g_\sigma$ es una distribución templada $^{[1]}$ y por tanto es transformable de Fourier.

Por el contrario, parece obvio que si $\Re(\sigma) <0$ entonces $g_\sigma$ es no templado.

Pregunta 1 . ¿Cuál es la forma más rápida de demostrarlo?

Mi opinión es que hay que aprovechar el hecho de que el emparejamiento $$\int_{\mathbb{R}^n} g_\sigma(x)\varphi(x)\, dx$$ no tiene sentido para algunos $\varphi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ . Pero, ¿es suficiente? Me temo que este argumento es incompleto.

Pregunta 2 . En términos más generales, ¿existe alguna caracterización de funciones templadas es decir, funciones que pertenecen al espacio $L^1_{\text{loc}}(\mathbb{R})\cap \mathcal{S}'(\mathbb{R})$ ?

Las únicas funciones templadas que conozco son funciones polinómicamente crecientes . Me refiero a las funciones de la forma $Pu$ donde $P$ es un polinomio y $u \in L^p(\mathbb{R}^n)$ para algunos $p\in[1, \infty]$ .

Pregunta 3 . ¿Es cierto que todas las funciones atemperadas son funciones polinómicamente crecientes?

---

$^{[1]}$ La definición de distribución templada Me refiero a lo siguiente.

Una distribución $T \in \mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$ se llama templado si para cada secuencia $\varphi_n \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ tal que $\varphi_n \to 0$ en el sentido de la clase Schwartz, ocurre que $\langle T, \varphi_n \rangle \to 0$ . Si este es el caso $T$ se extiende de forma única a una función lineal continua en $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ y escribimos $T \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ .

Answer 1

Pregunta 1 Lo que tienes es casi suficiente. Supongamos que $\Re\sigma \leq -\epsilon < 0$ . Prueba $\exp (-\sigma |x|^2)$ "contra" $\phi(x) = \exp( (\sigma+\epsilon/2)|x|^2)$ de la siguiente manera: se puede construir una secuencia de funciones de corte anular $\chi_k$ tal que $\chi_k \phi \to 0$ en $\mathcal{S}$ (utilizando el decaimiento exponencial de $\phi$ ) y $\langle g_\sigma, \chi_k\phi\rangle > c > 0$ para todos $k$ .

Pregunta 2 Tienes el teorema de la estructura de las distribuciones templadas. (Véase el teorema 8.3.1 en Friedlander y Joshi).

Teorema Toda distribución atemperada es una derivada (distribucional) de orden finito de alguna función continua de crecimiento polinómico.

Si se cruza contra $L^1_{loc}$ esto sólo garantiza que la derivada distribucional es en realidad la derivada débil. De esto se puede concluir que una versión apropiada de lo que usted afirmó es cierto.

Answer 2

Pensar $L^1_{loc}\cap\mathcal{S}'$ como subconjunto de $\mathcal{D}'$ , no es cierto que cada elemento de $L^1_{loc}\cap\mathcal{S}'$ es una función polinómicamente creciente.

Por ejemplo, en $\mathbb{R}$ definir

$$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, t\mapsto \cos(e^t) e^t.$$

Entonces $f\in L^1_{loc}(\mathbb{R})$ por lo que representa por emparejamiento integral un elemento de $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$ .

Además, define:

$$g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, t\mapsto \sin(e^t).$$

Entonces $g\in L^\infty(\mathbb{R})$ por lo que representa por emparejamiento integral un elemento de $\mathcal{S}'(\mathbb{R})$ .

Asimismo, denotando la derivada distribucional con el símbolo $D$ Tenemos eso:

$$\forall\varphi\in\mathcal{D}(\mathbb{R}), f(\varphi)= \int_\mathbb{R}f(t)\varphi(t)\operatorname{d}t =\int_\mathbb{R} \cos(e^t) e^t\varphi(t)\operatorname{d}t \\ = \int_\mathbb{R} \left(\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}t}\sin(e^t)\right)\varphi(t)\operatorname{d}t =- \int_\mathbb{R} \sin(e^t)\varphi'(t)\operatorname{d}t = -g(\varphi')=Dg(\varphi).$$ Así que, siendo $\mathcal{S}'(\mathbb{R})$ cerrada con respecto a la derivada distribucional, obtenemos que $f=Dg\in\mathcal{S}'(\mathbb{R})$ .

Sin embargo $f$ no es una función polinómicamente creciente, por lo que tenemos un ejemplo de $f\in L^1_{loc}(\mathbb{R})\cap\mathcal{S}'(\mathbb{R})$ que no sea de crecimiento polinómico.