Cómo encontrar los últimos elementos del pedido para obtener su suma

Question

Halla la suma de orden:

$$\sum_{n=1}^{}\left(\frac{\frac{3}{2}}{2n+3}-\frac{\frac{3}{2}}{2n-1}\right)$$

Así es como lo cuentan en el libro:

$$s_{n} = \left(\frac{3}{10}-\frac{3}{2}\right)+\left(\frac{3}{14}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{6}-\frac{3}{10}\right)+\left(\frac{3}{22}-\frac{3}{14}\right)+...+\left(\frac{3}{4n-2}-\frac{3}{4n-10}\right)+\left(\frac{3}{4n+2}-\frac{3}{4n-6}\right)+\left(\frac{3}{4n+6}-\frac{3}{4n-2}\right)$$ $$s_{n} = \frac{-3}{2}+\frac{-1}{2}+\frac{3}{4n+2}+\frac{3}{4n+6}$$ $$s = \lim_{n->}s_{n} = \lim_{n->}\left [\frac{-3}2 - \frac12 + \frac3{4n+2} + \frac3{4n+6}\right ] = -2$$

Entiendo como resolver el problema, pero no entiendo como obtener los ultimos articulos del pedido, me refiero a estos articulos:

$$\left(\frac{3}{4n-2}-\frac{3}{4n-10}\right)+\left(\frac{3}{4n+2}-\frac{3}{4n-6}\right)+\left(\frac{3}{4n+6}-\frac{3}{4n-2}\right)$$

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ACTUALIZACIÓN

Ahora entiendo cómo conseguir esos "últimos" artículos. Pero ahora estoy confundido, ¿por qué son incluso en la suma dentro de lim de $s_n$ ? Si siguiera contando los siguientes elementos, se cancelarían. Por ejemplo, hay $\frac3{4n+2}$ en $s_n$ si cuento n+1 elementos, esto se cancelaría. Entonces, ¿por qué los contamos en $s_n$ si sólo los dos primeros fractales { $\frac{-3}2, \frac12 $ } no se podría cancelar (si no se piensa en n negativo). ¿Alguien podría explicarlo, por favor?

Answer 1

Espero no haber malinterpretado tu pregunta, esta suma es lo que se llama suma telescópica, los otros términos se anulan de forma que sólo te quedan los que se mencionan.

Estos son

\begin{align*} \frac{3}{4n-10}&= \frac{3}{4(n-1)-6}\\ \frac{3}{4n-6}&= \frac{3}{4(n-1)-2} \\ \end{align*} Y $$\frac{3}{4n-2}$$ se anula a partir de la última paréntesis.

Answer 2

Los 3 términos que has mencionado arriba diciendo que no has entendido son los términos (n-2),(n-1) y n-ésimo de esa serie.

Así que si sustituyes 'n' por 'n-2' obtienes : $$\frac{3}{4n-2} - \frac{3}{4n-10}$$

si sustituyes 'n' por 'n-1' obtienes : $$\frac{3}{4n+2} - \frac{3}{4n-6}$$

Answer 3

Para la actualización: Si te fijas en los denominadores, la primera fracción va $5,7,9,11,\ldots$ La segunda fracción va $1,3,5,7,9\ldots$ Como entran con signos opuestos, todas las que coincidan se pueden anular con una del otro conjunto. Sólo nos queda $1$ y $3$ . Debido a que estos se encuentran en los deominadores, que es lo que se convierte en $\frac {-\frac 32}1 + \frac {-\frac 32}3=-2$ . Esto suele ocurrir con las sumas telescópicas. Los términos que sobreviven son los primeros, que no se cancelan. Todos los demás desaparecen por cancelación.