Si $|z-\frac 3z|=2$ Hallar el mayor valor de $|z|$

Question

$$|z^2-3|=2|z|$$

Y $$|z^2-3|\le |z|^2+3$$ $$2|z|\le |z|^2+3$$ que no es una ecuación válida, ¿qué está fallando?

Answer 1

Sugerencia

Utilice https://www.cut-the-knot.org/arithmetic/algebra/ComplexNumberInequalities.shtml

$$|z|+\dfrac3{|-z|}\ge \left|z-\dfrac3z\right|\ge|z|-\dfrac3{|z|}$$

Answer 2

Su desigualdad $2|z|\le|z|^2+3$ es muy válida. Por ejemplo, $|z|=2$ lo satisface.

En máximo valor de $|z|$ que permite esta desigualdad es la raíz máxima de la igualdad correspondiente $2|z|=|z|^2+3$ que puede resolverse mediante los métodos habituales para ecuaciones cuadráticas para obtener $|z|=3$ .

Así $|z|=3$ es un límite superior. Para demostrar que es el agudo límite superior, es decir, el verdadero máximo, simplemente intente $z=3$ en su ecuación original $|z-(3/z)|=2$ .

Answer 3

Maximizar $a^2+b^2$ con la restricción $(a^2+b^2)^2-10a^2+2b^2+9 = 0$ (véanse los comentarios anteriores) da como resultado las dos soluciones $(3,0)$ y $(-3,0)$ por lo que el mayor valor de $z$ es 3 y se produce en $z\in \{ -3,3\}$ .

A continuación se muestra una imagen de la curva trazada en Mathematica junto con el círculo $|z|=3$ .

Answer 4

Estás sustituyendo una ecuación por una inecuación, que es una condición más débil. Haciendo eso, integras soluciones ajenas. (Aunque la inecuación es "válida").