Causas de cambio de variable de integración superior e inferior desigual limita para ser igual y hace cero integral finito.

Question

Que $t=1+\sin x$ en la siguiente integral, entonces nos encontramos con algo raro!!

Nota: $t(x)=1+\sin x$, que $t(0)=1+\sin0=1+0=1$ y $t(\pi)=1+\sin\pi=1+0=1$

$$2=\int_0^{\pi}\frac{{\rm d}x}{1+\sin x}=\int_{1}^{1}(*){\rm d}t=0??$ $ Realmente pidieron a mí por uno de mi amigo.

Answer 1

Usted ha omitido una parte muy importante del cambio de variables. Lo que sucede a $dx$? En particular, usted sabe que $dt = \cos x dx$, pero no $\cos x$ plazo en el integrando. Tratando de incorporar es un poco difícil, y su problema se encuentra dentro de este.

Muy importante es que la relación entre el $dt$ $\cos x dx$ cambios a mitad de camino a través de la integral, y las dos mitades no cancelar.

En particular, $\cos x=\pm\sqrt{1-\sin^2x}=\pm\sqrt{1-(t-1)^2}=\pm\sqrt{2t-t^2}$. Cambiar la rama de la raíz cuadrada de utilizar a mitad de camino a través de la integral. Usted no puede sustituir a los dos $\pm$ al mismo tiempo. Por parte de la integral, de hacer uno, para el resto, el otro, la elección de los signos que hacen sentido. Esta es la razón por la que usted debe dividir en $x = \pi/2$. Este cambio de signo hace de modo que las dos mitades agregar en lugar de cancelar. Estás actuando como si no hay ningún cambio de signo y que cancelar.

Answer 2

Consejo. La función $\displaystyle x \mapsto 1+\sin x$ es no una correspondencia uno a uno, ya que su % de derivados $\displaystyle x \mapsto \cos x$cambia su signo en $[0,\pi]$, usted tiene $\cos x\geq0$ $[0,\pi/2]$ y $\cos x\leq0$ $[\pi/2,\pi]$.

El cambio de variable, como está escrito, no es una valide uno, es mejor separar el intervalo inicial en $[0,\pi/2]$ y $[\pi/2,\pi]$.