Demuestra que un helicoide es una superficie regular.

Question

Sea $S = \{(u\cos v, u\sin v, v): 0<v<2\pi, -\infty<u<+\infty\}.$ Demuestre que S es una superficie regular. $\newcommand{\D}{\mathrm{d}}$

Estoy usando el libro de DoCarmo, Geometría diferencial de curvas y superficies . Para $S \subset \mathbb{R}^3$ para ser una superficie regular, necesitaríamos para cada $p \in S$ existe una vecindad $V$ en $\mathbb{R}^3$ y un mapa $\mathbb{x}: \to V \cap S$ de un conjunto abierto $U \subset \mathbb{R}^2$ en $V \cap S \subset \mathbb{R}^3$ tal que $\mathbb{x}$ es diferenciable (es decir, sus funciones componentes tienen derivadas parciales continuas de todos los órdenes en $U$ ), $\mathbb{x}$ es un homeomorfismo (es decir, tiene una inversa continua), y para cada $q \in U$ el diferencial $\mathrm{d}\mathbb{x}_q: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ es uno a uno.

¿Es esta definición equivalente a demostrar que los vectores $\mathbb{x}_u$ y $\mathbb{x}_v$ donde $\mathbb{x}(u,v) = (u\cos v, u \sin v, v)$ son linealmente independientes? Si es así, ¿no es bastante trivial?

Si no es así, ¿puede alguien indicarme por qué no y explicarme qué podemos hacer?

Answer 1

Demostrando que $\mathbf x_u$ y $\mathbf x_v$ son linealmente independientes en todas partes no es suficiente; si nos fijamos bien en la definición de superficie regular, veremos que también tenemos que demostrar que $\mathbf x$ es un homeomorfismo sobre su imagen. (En este caso, para todos los puntos de $S$ podemos tomar $U=\mathbb R^2$ y $V=\mathbb R^3$ Así que $V\cap S = S$ .)

Para demostrar que $\mathbb x$ es un homeomorfismo sobre su imagen, se puede construir un inverso continuo explícitamente. Defina $\phi\colon S\to \mathbb R^2$ por $$ \phi(x,y,z) = \begin{cases} \left(\dfrac{x}{\cos z},z\right), & \cos z \ne 0,\\[2ex] \left(\dfrac{y}{\sin z},z\right), & \sin z \ne 0. \end{cases} $$ Las dos fórmulas para $\phi$ coinciden donde se solapan, y en cada punto de $S$ o bien $\cos z$ o $\sin z$ es distinto de cero, por lo que $\phi$ está definida globalmente y es continua. Se puede demostrar por cálculo que $\phi\circ \mathbf x(u,v) = (u,v)$ para todos $(u,v)\in\mathbb R^2$ y $\mathbf x\circ\phi(x,y,z) = (x,y,z)$ para todos $(x,y,z)\in S$ . Así $\phi$ es un inverso continuo para $\mathbf x$ Por lo tanto $\mathbf x$ es un homeomorfismo sobre su imagen.