Demostrar que el conjunto está conectado por arcos. Función $\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ con diferencial de rango $2$ .

Question

Sea $f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ y asumir que $0$ es el valor regular de $f$ (es decir, el diferencial de $f$ tiene rango $2$ en cada punto de $f^{-1}(0)$ ). Demostrar que $\mathbb{R}^3 \setminus f^{-1}(0)$ está conectada por arcos.

Answer 1

Considere una línea recta $gamma\colon\mathbb R\to\mathbb R^3$ tal que $\gamma(0)=a$ , $\gamma(1)=b$ donde $a,b\in\mathbb R^3\setminus f^{-1}(0)$ . Sea $T\subseteq\mathbb R$ sea el conjunto de $t$ tal que existe $r(r)>0$ tal que existe un camino desde $a$ a todos los puntos $x\in\mathbb R^3\setminus f^{-1}(0)$ con $|x-\gamma(t)|<r(t)$ . Demuestre que $T$ es abierto y cerrado y contiene $0$ . (Cerrado es la parte complicada).