La función x \mapsto \sin(x) - x no tiene una asíntota oblicua...
La respuesta a su pregunta es que todo se reduce a definiciones: ¿cuál es, precisamente, la definición del término "asíntota"? Wikipedia da una definición que parece bastante factible:
Definición: En geometría analítica, un asíntota de una curva es una línea tal que la distancia entre la curva y la línea se aproxima a cero a medida que una o ambas de las x o y coordenadas tiende a infinito.
MathWorld ofrece una definición similar:
Definición: En asíntota es una línea o curva que se aproxima arbitrariamente a una curva dada.
También existe una definición en Cálculo Thomas (13ª ed, p. 91), aunque esta definición se refiere específicamente a las asíntotas oblicuas de una función racional:
Definición: Si el grado del numerador de una función racional f es 1 mayor que el grado del denominador, el gráfico tiene un oblicuo o línea oblicua asíntota . Encontramos una ecuación para la asíntota dividiendo el numerador por el denominador para expresar f como una función lineal más un término de resto. que va a cero como x \to \pm \infty .
Aunque son poco informales (o, quizá, demasiado generales o específicas para el ejemplo que se da en esta pregunta), la idea esencial es que una recta es una asíntota de una curva si la curva puede acercarse arbitrariamente a la recta en "el límite". Más exactamente, si f y \ell funciones tales que \ell(x) = ax + b, entonces la línea \ell es una asíntota de f si \lim_{x\to \infty} f(x) - \ell(x) = 0 \qquad\text{or}\qquad \lim_{x\to-\infty} f(x) - \ell(x) = 0. El quid de las definiciones es que la "brecha" entre las dos curvas puede hacerse arbitrariamente pequeña eligiendo x para ser "suficientemente grande".
En el ejemplo dado, f(x) = \sin(x) + x y la asíntota potencial es \ell(x) = x. Observe que \lim_{x\to \pm\infty} f(x) - \ell(x) = \lim_{x\to\pm \infty} (\sin(x)+x) - x = \lim_{x\to\pm\infty} \sin(x), que no existe (el límite no converge; la función oscila). Por lo tanto, \ell no es una asíntota de f .
...pero es "del orden de" x .
Por otro lado, si uno se "aleja" lo suficiente, f y \ell parecen mostrar un comportamiento similar: las dos funciones son "asintóticamente similares" en cierto sentido. La forma habitual de dar sentido a esta idea intuitiva es a través de Notación de Landau . La idea aquí, creo, es la de similitud asintótica :
Definición: Una función f es asintóticamente similar a (o del orden de ) g (en el infinito), denotado f \sim g si \lim_{x\to \infty} \left| \frac{f(x)}{g(x)} \right| = 1.
En el caso del ejemplo citado, \begin{align} \lim_{x\to \infty} \left| \frac{\sin(x) + x}{x} \right| &\le \lim_{x\to \infty} \frac{|\sin(x)|+|x|}{|x|} && \text{(triangle inequality)} \\ &= \lim_{x\to\infty} \frac{|\sin(x)|}{x} + \lim_{x\to\infty} \frac{x}{x} \\ &= 1, \end{align} por lo tanto \sin(x) + x \sim x Eso es, \sin(x) + x es del orden de x cuando x es grande.
Nótese que también es posible hablar de una función f siendo del orden de g "en un punto"-considere el límite como x\to a en lugar de x\to \infty . Obsérvese también que otras nociones de comportamiento asintótico se caracterizan de otras maneras con otros símbolos (por ejemplo, notación big-Oh, notación little-oh, etc.). Éstas se resumen muy bien en Wikipedia (es el mismo enlace que el anterior).