Sea $f$ sea una función trigonométrica, y sea $y:=ax+b$ sea una función lineal. Cada vez que $f(x)+y$ como una función, se obtiene un gráfico en el que $(C_f)$ sigue la línea $y=ax+b$ pero no tenemos el límite conocido para una asíntota oblicua ( $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x)-y \neq 0 $ ).
¿Podemos seguir llamando a la línea $y:=ax+b$ una asíntota oblicua, ¿o esta línea tiene otro nombre?
Un ejemplo con la función $f(x):=\sin(x)+x$ :
La respuesta a su pregunta es que todo se reduce a definiciones: ¿cuál es, precisamente, la definición del término "asíntota"? Wikipedia da una definición que parece bastante factible:
Definición: En geometría analítica, un asíntota de una curva es una línea tal que la distancia entre la curva y la línea se aproxima a cero a medida que una o ambas de las $x$ o $y$ coordenadas tiende a infinito.
MathWorld ofrece una definición similar:
Definición: En asíntota es una línea o curva que se aproxima arbitrariamente a una curva dada.
También existe una definición en Cálculo Thomas (13ª ed, p. 91), aunque esta definición se refiere específicamente a las asíntotas oblicuas de una función racional:
Definición: Si el grado del numerador de una función racional $f$ es $1$ mayor que el grado del denominador, el gráfico tiene un oblicuo o línea oblicua asíntota . Encontramos una ecuación para la asíntota dividiendo el numerador por el denominador para expresar $f$ como una función lineal más un término de resto. que va a cero como $x \to \pm \infty$ .
Aunque son poco informales (o, quizá, demasiado generales o específicas para el ejemplo que se da en esta pregunta), la idea esencial es que una recta es una asíntota de una curva si la curva puede acercarse arbitrariamente a la recta en "el límite". Más exactamente, si $f$ y $\ell$ funciones tales que $$ \ell(x) = ax + b, $$ entonces la línea $\ell$ es una asíntota de $f$ si $$ \lim_{x\to \infty} f(x) - \ell(x) = 0 \qquad\text{or}\qquad \lim_{x\to-\infty} f(x) - \ell(x) = 0. $$ El quid de las definiciones es que la "brecha" entre las dos curvas puede hacerse arbitrariamente pequeña eligiendo $x$ para ser "suficientemente grande".
En el ejemplo dado, $$ f(x) = \sin(x) + x$$ y la asíntota potencial es $$ \ell(x) = x. $$ Observe que $$\lim_{x\to \pm\infty} f(x) - \ell(x) = \lim_{x\to\pm \infty} (\sin(x)+x) - x = \lim_{x\to\pm\infty} \sin(x), $$ que no existe (el límite no converge; la función oscila). Por lo tanto, $\ell$ no es una asíntota de $f$ .
Por otro lado, si uno se "aleja" lo suficiente, $f$ y $\ell$ parecen mostrar un comportamiento similar: las dos funciones son "asintóticamente similares" en cierto sentido. La forma habitual de dar sentido a esta idea intuitiva es a través de Notación de Landau . La idea aquí, creo, es la de similitud asintótica :
Definición: Una función $f$ es asintóticamente similar a (o del orden de ) $g$ (en el infinito), denotado $f \sim g$ si $$ \lim_{x\to \infty} \left| \frac{f(x)}{g(x)} \right| = 1.$$
En el caso del ejemplo citado, \begin{align} \lim_{x\to \infty} \left| \frac{\sin(x) + x}{x} \right| &\le \lim_{x\to \infty} \frac{|\sin(x)|+|x|}{|x|} && \text{(triangle inequality)} \\ &= \lim_{x\to\infty} \frac{|\sin(x)|}{x} + \lim_{x\to\infty} \frac{x}{x} \\ &= 1, \end{align} por lo tanto $\sin(x) + x \sim x$ Eso es, $\sin(x) + x$ es del orden de $x$ cuando $x$ es grande.
Nótese que también es posible hablar de una función $f$ siendo del orden de $g$ "en un punto"-considere el límite como $x\to a$ en lugar de $x\to \infty$ . Obsérvese también que otras nociones de comportamiento asintótico se caracterizan de otras maneras con otros símbolos (por ejemplo, notación big-Oh, notación little-oh, etc.). Éstas se resumen muy bien en Wikipedia (es el mismo enlace que el anterior).
La definición de una asíntota es una función a la que su función se aproxima a medida que el límite va hacia el infinito en una u otra dirección en otras palabras $f(x)$ es asintótica a $g(x)$ como $\lim_{x\to \infty}(f(x)-g(x))=0$ . En este caso, el límite no converge, ya que el límite no es más que su función trigonométrica, por lo que asíntota no es el lenguaje adecuado.
No estoy seguro de que exista un término para lo que quieres.
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