Demostración de las leyes de complemento

Question

El problema en el que estoy trabajando es:

Prueba lo siguiente: $A \bar{A}=U$

Como en todas las pruebas, he comenzado esta prueba utilizando la definición de unión:

$A \bar{A} = \{x|x \in A \vee x \in \bar{A}\}$

Utilizando la definición del complemento de A:

$A \bar{A} = \{x|x \in A \vee ( x \in U \wedge x \notin A) \}$

A continuación, utilicé la ley de distribución y, después, la ley de dominación, hasta que me di cuenta de que estaba dando vueltas en círculo. ¿He empezado mi prueba incorrectamente?

Answer 1

$$A \cup \bar{A} = \{x|x \in A \vee ( x \in U \wedge x \notin A) \}$$

$$A \cup \bar{A} = \{x|(x \in A \vee x \in U) \land ( x \in A \lor \notin A) \}$$

$$\text{Note that}\;\; x \in A \lor x\notin A \iff x \in U.$$