Encontrar un hiperplano que no intersecte $S$

Question

Tengo el siguiente problema:

Sea $K$ sea un campo infinito, $V$ un $n$ -dimensional $K$ -espacio vectorial, $S \subset V$ un subconjunto finito con $0 \notin S$ . Demostrar que existe un subespacio $W \subset V$ de dimensión $n-1$ tal que $W \cap S = \emptyset$ .

Creo que esto es bastante obvio geométricamente, sin embargo no soy capaz de demostrarlo. He intentado tanto por inducción en $n$ y en la cardinalidad de $S$ pero no lo conseguí.

Answer 1

Comience por demostrar que para cada $n$ -espacio vectorial dimensional $V$ ( $n>1$ ) y cualquier conjunto finito $S$ con $0 \not\in S$ , hay un $1$ -subespacio dimensional de $V$ que no intersecte $S$ . (Tendrás que usar el hecho de que nuestro campo es infinito aquí.) Ahora inducimos.

Supongamos que $V$ un $n$ -tiene un espacio vectorial $k$ -subespacio dimensional que no interseca $S$ con $k < n-1$ . Llámalo $W$ . Ahora considere la $n-k$ -espacio vectorial dimensional $V/W$ ; su dimensión es mayor que $1$ y la imagen de $S$ sigue siendo un conjunto finito que no contiene $0$ . Así que por el primer paso, tenemos un $1$ -subespacio dimensional de $V/W$ que no intersecte la imagen de $S$ . Levante esto hasta un $(k+1)$ -subespacio dimensional de $V$ que no se cruza $S$ ; entonces por inducción, hay un subespacio de $V$ para todos $1 \leq k \leq n-1$ que no se cruza $S$ que es lo que queríamos desde el principio.