Dos preguntas sobre la inversa de Moore-Penrose

Question

Definimos la inversa de Moore-Penrose de una matriz $A$ como sigue

$$A^+ := \lim_{x \to 0} \, (A^T A + xI)^{-1} A^T$$

y decimos que encuentra la solución de norma más baja de $\|Ax - y\|$ . No estoy seguro de 2 cosas:

1. ¿Por qué $(A^T A + xI)$ ¿siempre invertible?

2. ¿Qué implica esta definición $A^+ A = I$ ?

Answer 1

Esquema para la demostración de 1): si $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ son los valores propios de $A^\top A$ entonces $\lambda_1+x, \ldots, \lambda_n + x$ son los valores propios de $A^\top A + x I$ (¿por qué?). Dado que la $\lambda_i$ son no negativos (¿por qué?) y $x > 0$ vemos que $A^\top A + x I$ no tiene valores propios nulos.

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El pseudoinverso no satisface $A^+ A = I$ . Compruebe el definición/propiedades otra vez.