Giros topológicos de la teoría gauge SUSY

Question

Considere $N=4$ teoría gauge supersimétrica en 4 dimensiones con grupo gauge $G$ . Como se explica al principio del artículo de Kapustin y Witten sobre Langlands geométrico, esta teoría tiene 3 giros topológicos diferentes. Uno se estudió mucho durante los años 90 y conduce matemáticamente a la teoría de Donaldson, otro fue estudiado por Kapustin y Witten (y matemáticamente está relacionado con Langlands geométrico). Mi pregunta es la siguiente: ¿alguien ha estudiado el tercer giro? ¿Es posible decir algo sobre la correspondiente teoría topológica de campos topológico correspondiente?

Answer 1

Algunos detalles del tercer giro pueden encontrarse en la sección 6 de la Ref. 1. Las ecuaciones BPS corresponden a una versión no abeliana de las ecuaciones monopolo consideradas por Witten en la Ref. 2. Algunos aspectos de esta teoría topológica de campos se consideraron en la Ref. 3, generalizando el análisis de la Ref. 2 al caso no abeliano.

En cada uno de los tres giros topológicos de $N=4$ supersimétrico Yang-Mills en 4d, el conjunto de campos bosónicos contiene un campo gauge y dos escalares reales (igual que en el giro de $N=2$ supersimétrico Yang-Mills que da la teoría de Donaldson-Witten). En los giros respectivos, los cuatro grados de libertad bosónicos restantes en la $N=4$ supermultipleto se ensamblan en (i) un escalar y una dos-forma autodual, (ii) una una-forma, (iii) dos espinores quirales. (Por supuesto, todos los campos se valoran en la representación adjunta del grupo gauge). La torsión (i) da la teoría de Vafa-Witten de la Ref. 4. La torsión (ii) es la que observó por primera vez Yamron en Phys. Lett. B213 (1988) 325-330, considerada por Marcus en la Ref. 5, y más recientemente por Kapustin y Witten en el contexto de Langlands geométrico. La torsión (iii) es la mencionada en el párrafo anterior.

En una cuatro-manifold compacta de Kähler $X$ con $b_2^+ (X) > 1$ Creo que la estrecha analogía entre las torsiones (i), (iii) y la teoría de Donaldson-Witten se basa en un teorema de fuga similar al utilizado en la sección 3 de la Ref. 2 en el caso abeliano de la torsión (iii). La implicación es que todas las soluciones de las ecuaciones BPS resultantes de las torsiones (i) y (iii) corresponden a instantones en $X$ (con los cuatro escalares trenzados iguales a cero).

El giro (ii) es un poco más sutil en el sentido de que en realidad da lugar a una familia de teorías de campo topológicas, con cada miembro etiquetado por un punto en ${\mathbb{CP}}^1$ . Esto es así porque, hasta una escala global irrelevante, se puede definir un operador BRST topológico a partir de cualquier combinación lineal compleja de las dos supercargas escalares que sobreviven a este giro. Citando a Witten, "no hay equivalencias triviales entre esta familia de teorías de campo topológicas, sólo equivalencias interesantes que provienen de dualidades". En ciertos casos especiales, las soluciones de las ecuaciones BPS pueden considerarse conexiones complejas planas del haz de galgas (por ejemplo, como en la Ref. 5) en lugar de instantones.

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Referencias:

1. C. Lozano, Dualidad en las teorías cuánticas de campos topológicos , arXiv:hep-th/9907123 .
2. E. Witten, "Monopoles and four-manifolds", arXiv:hep-th/9411102 , Matemáticas. Res. Lett. 1 (1994) 769-796 .
3. J. M. F. Labastida & M. Mariño, "Non-abelian monopoles on four-manifolds", Nucl. B 448 (1995) 373-398 , arXiv:hep-th/9504010 .
4. C. Vafa, E. Witten, "A strong coupling test of $S$ -dualidad", Nucl. B 431 (1994) 3-77 , arXiv:hep-th/9408074 .
5. N. Marcus, "La otra torsión topológica de $N = 4$ Yang-Mills", Nucl. B 452 (1995) 331-345 , arXiv:hep-th/9506002 .

Answer 2

El documento Kapustin-Witten

https://arxiv.org/abs/hep-th/0604151

dice (en la página 17) que dos de los tres giros están relacionados con la teoría de Donaldson:

Dos de las teorías retorcidas, incluyendo una que fue investigada en detalle en [45: Vafa Witten], son estrechamente análogas a la teoría de Donaldson en el sentido de que conducen a invariantes de instantones que, como los invariantes de Donaldson de los cuatro-manifolds, pueden expresarse en términos de los invariantes de Seiberg-Witten

Por Vafa-Witten, quiero decir

https://arxiv.org/abs/hep-th/9408074

El giro menos estudiado de los tres fue estudiado por Neil Marcus

https://arxiv.org/abs/hep-th/9506002

pero no estoy seguro de que todo el mundo en ese campo piense que el documento es correcto.