¿Existe una expresión analítica para la suma $$1^2+3^2+5^2+\cdots+(2n-1)^2,$$ y ¿cómo se obtiene?
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$$ 1^2+3^2+5^2+\cdots+(2n-1)^2 = \sum_{i=1}^{n}(2i-1)^2 = \sum_{i=1}^{n}(4i^2)- \sum_{i=1}^{n}(4i) + \sum_{1}^{n}1=\dots.$$
Ahora, necesita el identidades
$$ \sum_{i=1}^{n}1 = n, $$
$$ \sum_{i=1}^{n}i = \frac{n(n+1)}{2}, $$
$$\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n^3}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{n}{6}.$$
HappyEngineer
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La siguiente es una técnica muy general. En concreto, probablemente no sea la mejor manera de resolver este tipo de problemas al principio. Pero vale la pena conocer esta técnica a largo plazo.
Utilizamos el resultado de que: $$\sum_{k=0}^{n-1} \binom{k}{i} = \binom{n}{i+1}$$
Escribe: $$(2k+1)^2=8\binom{k}{2} +8\binom{k}{1}+ \binom{k}{0}$$ Entonces $$\begin{align}\sum_{k=0}^{n-1} (2k+1)^2 &=\sum_{k=0}^{n-1}\left( 8\binom{k}{2} + 8\binom{k}{1} + \binom{k}{0}\right)\\&=8\binom{n}{3}+8\binom{n}{2} + \binom{n}{1}\end{align}$$
Este método puede utilizarse para resolver $\sum_{k=0}^{n-1} p(k)$ para cualquier polinomio $p$ . El resultado es siempre un polinomio de un grado superior al grado de $p$ .
Oli
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A continuación se puede dar una versión combinatoria del argumento. Pero se necesita algo de tiempo para contar la historia correcta. Así que por ahora nos conformamos con el enfoque de las matemáticas mágicas. Tenemos $$\binom{2k+1}{3}-\binom{2k-1}{3}=\frac{(2k+1)(2k)(2k-1)-(2k-1)(2k-2)(2k-3)}{3!}.\tag{1}$$ Obsérvese que la ecuación anterior se cumple incluso cuando $k=1$ si utilizamos la convención de que $\binom{1}{3}=0$ .
El lado derecho de (1) se simplifica mágicamente a $(2k-1)^2$ . De ello se deduce que nuestra suma $1^2+3^2+5^2+\cdots +(2n-1)^2$ es igual a $$ \binom{3}{3}-\binom{1}{3} + \binom{5}{3}-\binom{3}{3} + \binom{7}{3}-\binom{5}{3} + \cdots + \binom{2n+1}{3}-\binom{2n-1}{3} .$$ Obsérvese la cancelación al por mayor. Obtenemos $$1^2+3^2+5^2+\cdots +(2n-1)^2=\binom{2n+1}{3}.$$
Olivia
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MediaJunkie
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1² + 3² + 5² + ...
Tn = [1 + (n - 1)(2)]² = (2n - 1)² = 4n² - 4n + 1
Suma total = ∑4n² - ∑4n + n
\= 4n(n + 1)(2n+1)/6 - 4n(n + 1)/2 + n
\= 2n(n + 1)(2n+1)/3 - 2n(n + 1) + n
\= 2n[(n + 1)(2n+1)/3 - 1] + n
\= 2n[(n + 1)(2n + 1 - 3/3] + n
\= 2n[(n + 1)(2n - 2/3] + n
\= 4n[(n + 1)(n - 1/3] + n
\= 4n[(n + 1)(n - 1 + 3n]/3
