Cuártico con $4 $ raíces equidistantes

Question

Hoy tengo el problema $(x^2 -1)(x^2 -4)=k$ y no tengo ni idea de cómo demostrarlo algebraicamente. $K$ es un número real distinto de cero que hace que la ecuación tenga $4$ raíces reales equidistantes distintas . Resolver para $k$ algebraicamente.

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Lo que he intentado:

He intentado resolver para x y luego a su vez intentar resolver para k

$$(x^2 -1)(x^2 -4)=k$$

$$ (x^4 -4x^2-1x^2+4) = k$$

$$ x^4 - 5x^2 + 4 - k = 0 $$

$$ x^2 = {-b\pm\sqrt{b^2-4ac} \over 2a} $$

$$ x^2 = {5\pm\sqrt{25-4(4-k)} \over 2} $$

$$ x^2 = {5\pm\sqrt{9+4k} \over 2} $$

$$ x^2 = {5+\sqrt{9+4k} \over 2} $$ y $$ x^2 = {5-\sqrt{9+4k} \over 2} $$

Por lo tanto

$$ x_1 = \sqrt {5+\sqrt{9+4k} \over 2} $$

$$ x_2 = -\sqrt {5+\sqrt{9+4k} \over 2} $$

$$ x_3 = \sqrt {5-\sqrt{9+4k} \over 2} $$

$$ x_4 = -\sqrt {5-\sqrt{9+4k} \over 2} $$

Ahora estoy atascado tratando de resolver para k.. La respuesta es $k$ = 7/4 pero tengo problemas para resolverlo algebraicamente..

Answer 1

Como las raíces son equidistantes, que las raíces sean $a\pm d,a\pm3d$

utilizando la fórmula de Vieta, inmediatamente tenemos $$a+d+a-d+a+3d+a-3d=0\iff a=0$$

y $5=(-d)(d)+(-d)(3d)+(-d)(-3d)+d(3d)+(d)(-3d)+(3d)(-3d)$

Ahora $4-k= d\cdot-d\cdot3d\cdot-3d$

¿Puedes seguir desde aquí?

De hecho $$x^4-5x^2+4-k=(x^2-d^2)(x^2-9d^2)=x^4-10d^2x^2+9d^4$$

$\implies10d^2=5$ y $4-k=9d^4$

Answer 2

Has encontrado $x^2=A+B$ y $x^2=A-B$ con $$A={5\over2},\qquad B={1\over2}\sqrt{9+4k}\ .\tag{1}$$ De ello se deduce que las cuatro raíces son (en orden creciente): $$x_1=-\sqrt{A+B},\quad x_2=-\sqrt{A-B},\quad x_3=\sqrt{A-B},\quad x_4=\sqrt{A+B}\ .$$ La condición $x_3-x_2=x_4-x_3$ conduce a $$\sqrt{A+B}=3\sqrt{A-B}\ ,$$ y esto a su vez implica $10B=8A$ . Enchufar $(1)$ y resolviendo para $k$ conduce a $k={7\over4}$ de modo que $A+B={9\over2}$ , $A-B={1\over2}$ . Esto conduce a $$x_1=-{3\over2}\sqrt{2},\quad x_2=-{1\over2}\sqrt{2},\quad x_3={1\over2}\sqrt{2},\quad x_4={3\over2}\sqrt{2}\ .$$ Se comprueba fácilmente que estos resultados cumplen todos los requisitos.