Sea $\epsilon _n$ y $\eta _n$ variables aleatorias iid (y las secuencias son independientes entre sí) tales que $\epsilon _n \sim \mathcal{N}(0, \sigma ^2)$ y $\eta _n \sim \mathcal{N}(0, \delta ^2)$ . Sea $X_0=0$ , $X_{n+1}=a_nX_n+\epsilon_{n+1}$ y $Y_n=cX_n+\eta_n$ donde $c$ y $a_n$ son constantes positivas. Pon $\widehat{X_{n/n}}=E(X_n|Y_0,\ldots ,Y_n$ ) y $\widehat{X_{n/n-1}}=E(X_n|Y_0,\ldots ,Y_{n-1}$ ). Quiero demostrar que $$\widehat{X_{n/n}}=\widehat{X_{n/n-1}}+\frac{E(X_nZ_n)}{E(Z_n^2)}Z_n $$ donde $Z_n=Y_n-c\widehat{X_{n/n-1}}$ pero mis intentos no tuvieron éxito.
Respuesta
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Sea $\mathcal{W}_{n-1}\subset\mathcal{W}_{n}$ sean los dos subespacios vectoriales abarcados por $Y_0,\ldots,Y_k$ para $k\in\{n, n-1\}$ . Desde $(X_n,Y_0,\ldots,Y_n)$ son normales conjuntas y $X_n$ es media cero: $$\hat{X}_{n/n} \in\mathcal{W}_n\text{ and }\hat{X}_{n/n-1} \in\mathcal{W}_{n-1}.$$ Además, la expectativa condicional es la proyección ortogonal con respecto al producto interior $E[UV]$ lo que significa $$ \hat{X}_{n/n} - \hat{X}_{n/n-1} \perp \mathcal{W}_{n-1}.$$
Pero el complemento ortogonal de $\mathcal{W}_{n-1}$ en $\mathcal{W}_{n}$ se extiende por \begin{align} E[Y_n \mid Y_0,\ldots,Y_n] - E[Y_n \mid Y_0,\ldots,Y_{n-1}] &= Y_n - E[cX_n-\eta_n \mid Y_0, \ldots, Y_{n-1}]\\ &= Y_n - c \hat{X}_{n/n-1}\\ &= Z_n \end{align} donde el segundo paso utiliza la hipótesis de que $\eta_n$ es independiente y de media cero.
Por lo tanto $$ \hat{X}_{n/n} - \hat{X}_{n/n-1} = \alpha Z_n.$$ Multiplicación por $Z_n$ tomando la expectativa en ambos lados y usando eso $E[\hat{X}_{n/n-1}Z_n]=0$ debido a la ortogonalidad, muestra que $$ \alpha = \frac{E[\hat{X}_{n/n} Z_n]}{E[Z_n^2]}.$$ La conclusión se deduce porque $X_n - \hat{X}_{n/n}$ es ortogonal a $\mathcal{W}_n$ lo que significa $E[\hat{X}_{n/n} Z_n] = E[X_n Z_n]$ .
