Demostrar o refutar: Si $v_1,v_2,...,v_n$ son vectores en $\mathbb{R}^n$ ...

Question

Y para cada $v_i$ , $i=1,..,n$ la suma de las coordenadas de $v_i$ es $0$ entonces $v_1,...,v_n$ y linealmente dependiente.

Lo que intenté hacer: Estas preguntas se dieron después de que aprendí sobre similitud de matrices y vectores propios y valores propios, así que traté de pensar en esa dirección, realmente no pude conseguir la pregunta que decía "la suma de coordenadas de $v_i$ es $0$ ), porque siempre he visto que las coordenadas vienen con base para poder usarlas? (se agradecería si alguien me explica de que manera debo entender esa frase).
Pero procedí a pensar en esa dirección y llegué a algo: elegí matriz $A$ para ser todos unos, ( $a_{ij}=1\space \forall i,j) $ y que $T(v)=Av$ una transformación lineal, y aquí me atasqué pero mi idea era intentar decir por contradicción que son linealmente independientes y llegar a la contradicción si encuentro que $A$ es similar a la matriz cero (si utilizo la suma de coordenadas), y luego explico que no pueden ser similares con rangos diferentes, y demuestro la afirmación. Pero no tengo ni idea de cómo continuar y mi débil comprensión de la pregunta me asusta si estoy en la dirección correcta, así que vine aquí a preguntar.
Agradezco toda la ayuda, Gracias de antemano a todos.

Answer 1

Al hablar del espacio euclidiano $\mathbb{R}^n$ la base por defecto es la base estándar.

Sea $A$ sea una matriz cuyos vectores columna son $v_1,\cdots,v_n$ . Entonces, si se considera el vector fila $$ w=(\underbrace{1,\cdots,1}_{\textrm{$ n $ terms}}) $$ se deduce de la multiplicación de matrices que $wA=0$ lo que implica que $A$ no es de rango completo y, por tanto, los vectores columna son linealmente dependientes.

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Notas.

Si escribe $$ v_k=(a_{1k},\cdots,a_{nk})^T $$ entonces la matriz $A$ es

\begin{pmatrix} a_{11}&\cdots& a_{1n}\\ \vdots&\vdots&\vdots\\ a_{n1}&\cdots &a_{nn} \end{pmatrix}

Tenga en cuenta que el $k$ -ésima columna de $A$ es el vector $v_k$ .

Answer 2

Hay una prueba mucho más sencilla. Nótese que si los vectores fueran linealmente independientes, abarcarían $\mathbb R^n$ .

Afirmo que $\bar 1$ no está en el tramo de estos vectores.

Para ver por qué, observe que $\bar1\cdot\bar1=n$ pero $$\bar1\cdot (a_1\cdot v_1+\ldots +a_n\cdot v_n)=a_1\cdot(\bar1\cdot v_1)+\ldots+a_n\cdot(\bar1\cdot v_n)=0+\ldots+0=0$$ para cualquier elección de coeficientes $a_1,\ldots,a_n$ .

Answer 3

CONSEJO -Un sistema de $n$ vectores $v_1,v_2,.....,v_n$ es linealmente dependiente si $\sum_{i=1}^nc_iv_i=0$ se cumple para algún vector distinto de cero $(c_1,c_2,.....,c_n)$ .

En tu caso, efectivamente este vector no nulo es $(1,1,.....,1)$ .