¿Un mapa isométrico en un espacio métrico es suryectivo?

Question

Posible duplicado:
Isometrías de $\mathbb{R}^n$

Sea $X$ sea un espacio métrico compacto y $f$ sea un mapa isométrico de $X$ a $X$ . Prueba $f$ es un mapa suryectivo.

Answer 1

He aquí una alternativa a la prueba enlazada en los comentarios:

Supongamos que existiera $x \in X\setminus f(X)$ . Entonces $x$ tiene distancia positiva $d$ del conjunto compacto $f(X)$ . Consideremos ahora la secuencia definida recursivamente $$x_0 := x, \qquad x_n := f(x_{n-1}) \quad \forall \, n>0$$ Tenemos $d(x_0, x_n)\ge d$ para todos $n>0$ por suposición $x$ . Esto implica que también tenemos $d(x_k, x_{k+n}) = d(x_0, x_n) \ge d$ para todos $k,n>0$ (aquí utilizamos que $f$ es una isometría). Por lo tanto $d(x_n, x_m) \ge d$ para todos $m\ne n$ lo que contradice la compacidad secuencial de $X$ .