Demuestre la sublinealidad de la función para un problema de Cauchy de segundo orden

Question

Consideremos el siguiente problema de Cauchy:

\begin{cases} y''(x)=-y^3(x) \\ y(0)=0 \\ y'(0) = 1 \end{cases}

Quiero demostrar que existe una solución global para todos $x \in \mathbb{R}$ pero no puedo probarlo.

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La función $f$ se define como $f(x,y_1,y_2)=[y_2,-y_1^3]^T$ . Me gustaría demostrar que $f$ es sublineal es decir $$||f(t,y)|| \leq h+k||y||$$ donde $y = [y_1,y_2]^T$ pero no puedo mostrarlo.

Tengo $$||f|| = y_2^2 + y_1^6$$ pero no tengo ni idea de cómo ligar el último término. Cualquier pista o respuesta es muy apreciada

Answer 1

$$y''=-y^3$$ $$2y''y'=-2y^3y'$$ $$y'^2=-\frac12 y^4+c_1$$ Condiciones $y(0)=0$ y $y'(0)=1$ implica $c_1=\frac12$ $$y'^2=\frac12-\frac12 y^4$$ $$y'=\sqrt{\frac12-\frac12 y^4}\qquad \text{with sign according to }y'(0)=1$$ Se trata de una integral elíptica de Jacobi.

$$y=\text{sn}\left( \frac{x}{\sqrt{2}}+c_2\:\Big|\:-1\right)$$ sn es la función elíptica de Jacobi sn https://mathworld.wolfram.com/JacobiEllipticFunctions.html

La condición $y(0)=0$ implica $c_2=0$ . La solución es : $$y=\text{sn}\left( \frac{x}{\sqrt{2}}\:\Big|\:-1\right)$$