Separación de variables para el problema de valor límite de la ecuación de onda

Question

Espero recibir alguna opinión sobre una solución analítica de la siguiente ecuación, $$ u_{tt}-u_{xx}=\gamma u, $$ para $x\in (0,L)$ y $t\in (0,\infty)$ con condiciones iniciales $$ u(0,x)=0, \qquad u_t(0,x)=0,$$ y las condiciones de contorno $$ u(t,0)=f(t), \qquad u_x(t,L)+cu(t,L)=g(t),$$ donde $\gamma$ y $c$ son constantes conocidas.

He probado la separación de variables, $u=T(t)X(x)$ pero sólo se obtiene una solución trivial para $T$ .

Answer 1

Utilización de la separación de variables $u(x,t) = X(x) T(t)$ tenemos $$ \frac{T''}{T} = \frac{X''}{X} + \gamma = -\lambda \, , $$ es decir $$ {T''} + \lambda T = 0 \qquad\text{and}\qquad {X''} + (\lambda-\gamma) X = 0 $$ para los que se podría aplicar el enfoque de series de Fourier. Sin embargo, esto podría no ser una tarea fácil en el caso de que las condiciones de contorno dependan del tiempo.

El problema que se plantea es muy similar al de una cuerda unidimensional con extremos vibrantes. Una posible estrategia consistiría en buscar la solución como una suma de funciones propias, lo que se denomina descomposición o expansión de modos normales. Para encontrar los modos normales, se resuelve el mismo problema con condiciones de contorno homogéneas ( $f=0$ , $g=0$ ), véase, por ejemplo este enlace y cap. 4 de (1). Obsérvese que esta entrada está estrechamente relacionado.

Alternativamente, se puede utilizar el método de las características para el sistema $$ \begin{aligned} u_t \qquad &= v\\ \varepsilon_t -v_x &= 0\\ v_t - \varepsilon_x &= \gamma u \end{aligned} $$ donde $\varepsilon = u_x$ pero esto puede no ser sencillo debido al lado derecho. Puedes echar un vistazo a (1), cap. 12.

Por último, se puede resolver el problema utilizando las transformadas de Laplace (véase, por ejemplo, el cap. 13 de (1)).

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(1) R. Habermann, Ecuaciones diferenciales parciales aplicadas con series de Fourier y problemas de valores límite 5ª ed. Pearson Education Inc., 2013.