Condiciones para poder transformar una matriz en una suma de Kronecker

Question

¿Alguien conoce alguna condición bajo la cual una matriz Hermitiana $H$ puede transformarse mediante una matriz unitaria $U$ en un producto de Kronecker?

Eso es, $H'=UHU^\dagger=A\oplus B\equiv A\otimes I+I\otimes B$

Gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

Un intento preliminar: Me ceñiré al caso en que ambos $A$ y $B$ son necesariamente de tamaño $n$ .

Dos matrices hermitianas son similares si y sólo si comparten valores propios. Obsérvese que si $A,B$ tienen valores propios $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ y $\mu_1,\dots,\mu_n$ respectivamente, entonces los valores propios de $A \oplus B$ vienen dadas por $\lambda_i + \mu_j$ para todos $1 \leq i,j \leq n$ . Obsérvese, en particular, que al ordenar estos valores propios en una matriz se obtiene el rango $2$ matriz $$ M = \pmatrix{ \lambda _1 + \mu_1 & \cdots & \lambda_1 + \mu_n\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \lambda_n + \mu_1 & \cdots & \lambda_n + \mu_n} \\= \pmatrix{\lambda_1\\ \vdots \\ \lambda_n} \pmatrix{1&\cdots & 1} + \pmatrix{1\\ \vdots \\ 1}\pmatrix{\mu_1 & \cdots & \mu_n} \\= \pmatrix{\lambda_1 & 1\\ \vdots & \vdots\\ \lambda_n & 1} \pmatrix{ 1 & \cdots & 1\\ \mu_1 & \cdots & \mu_n}. $$ Por lo tanto, un tamaño $n^2 \times n^2$ Matriz hermitiana $H$ puede transformarse en una matriz de la forma $A \oplus B$ si y sólo si sus valores propios pueden ordenarse en una matriz de la forma anterior.