Cómo demostrar que $S^n$ no se puede incrustar $\mathbb R^n$

Question

Hay indicios de que podemos demostrarlo mediante el grupo homológico de $S^n\setminus S^k$ .

Answer 1

La forma más sencilla es mediante topología de conjuntos de puntos más invariancia de dominio. La esfera es compacta, por lo que su imagen bajo una incrustación sería cerrada. Sin embargo, es localmente homeomorfa a $\mathbb{R}^n$ así que debe estar abierto. Dado que el único subconjunto cerrado y abierto no vacío de $\mathbb{R}^n$ es ella misma, ésta debe ser una incrustación biyectiva. Sin embargo, esto es imposible ya que $\mathbb{R}^n$ no es compacto. Por lo tanto, no puede existir incrustación.

Answer 2

Si desea utilizar la homología, puede utilizar el hecho de que si $f:S^{n-1}\to S^n$ es una incrustación, entonces $\tilde H_0(S^n-f(S^{n-1}))=\mathbb Z.$

Supongamos ahora que $S^n$ incrusta en $R^n$ . Entonces, puesto que $\mathbb R^n$ incrusta en $S^n$ de forma no-surjetiva, obtenemos una incrustación $f:S^n\to S^n$ que no es suryectiva.

Ahora, Mayer-Vietoris da la secuencia exacta:

$\tilde H_0(S^n-f(S^n_+)\oplus\tilde H_0(S^n-f(S^n_-)\to H_0(S^n-f(S^{n-1}))\to 0.$

Pero el grupo de la izquierda es $0$ mientras que el del medio es $\mathbb Z$ lo que implica que $(S^n-f(S^n_+))\cap (S^n-f(S^n_-))=\emptyset$ y así $f(S^n)=S^n$ una contradicción.