Compactibilidad y espacio métrico

Question

Sé que si A y B son compactos entonces existe $(a,b)\in A\times B, d(a,b) = d(A,B)$ Quiero encontrar un ejemplo en el que esto no sea cierto si A es compacto y B cerrado

Puse $A=[1,2]$ y $B=]-\infty,0[ $ en $\mathbb{R}^*=]-\infty,0[\cup ]0,+\infty[$

¿Es correcto?

aquí B es cerrado pero no acotado entonces no es compacto ¿no?

y d(A,B)=1 pero d(a,b)>1

¿es cierto?

Answer 1

Sí, es correcto. De hecho, podría haber tomado $B=[-1,0[$ . Aunque no está cerrado en $\mathbb{R}$ , está cerrado en su $\mathbb{R}^*$ .