corte de una rodaja de un cilindro

Question

Sea $S\subset \mathbb{R}^3$ sea la superficie encerrada por el cilindro abierto (infinitamente largo) en $\mathbb{R}^2$ (dada por la ecuación $x^2+y^2<1$ ) y la superficie $z=xy$ . Explícitamente, $S=\{(x,y,z): x^2+y^2<1\text{ and } z=xy\}$ . ¿Cómo calculo el área de $S$ utilizando una integral doble.

Answer 1

Supongo que conoces la integral doble para la superficie $S$ de una superficie definida por $z=f(x, y)$ :

$$S=\iint\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2+1}\ dx\,dy$$

Las dos derivadas parciales son bastante fáciles. Una vez que tengas eso, te resultará más fácil trabajar en coordenadas cilíndricas así que $dx\,dy$ se convertirá en $r\,dr\,d\theta$ y la región delimitadora será el círculo $r=1$ . Usted debe ser capaz de tomar desde allí.