$p(x) \mid q(x)$ para valores infinitos de $x$ (entero) implica $p(n) \mid q(n) \quad \forall n$ entero

Question

Estaba trabajando: https://math.stackexchange.com/questions/161578/kind-of-functional-eq-in-integers

Encontré una especie de manera...

pero necesito demostrarlo:

$p(x) \mid q(x)$ para valores infinitos de $x$ (entero) implica $p(n) \mid q(n) \quad \forall n \in \mathbb{Z}$

Me dijeron que siempre es cierto, pero puedo demostrarlo sólo para polinomios. ¿Es un teorema bien conocido, o hay una prueba fácil?

Answer 1

Deje $n=dq+r$ entonces $p^n-1=p^{dq+r}-1=p^r(p^{dq}-1)+(p^r-1)$ . Ahora $p^d-1|p^n-1$ implica $p^d-1|p^r-1$ pero $r<d$ implica $p^r-1<p^d-1$ . Así que $p^r-1=0$ Es decir $r=0$ . Por lo tanto $d|n$ .

Answer 2

Formalicemos la pregunta. Dado un conjunto de números enteros $S$ queremos saber si cumple la propiedad $P_S$ :

Si $p$ y $q$ son polinomios racionales tales que para todo $x\in S$ , $p(x)\mid q(x)$ y ambas cantidades son números enteros, entonces $p$ y $q$ son polinomios de valor entero y $p(n)\mid q(n)$ para todos $n\in\mathbb Z$ .

Por escrito $p(x)=q(x)r(x)$ en realidad equivale a la propiedad $P'_S$ :

Si $p$ es un polinomio racional, entonces $p(x)$ es un número entero para todo $x\in S$ si $p(n)$ es un número entero para todo $n\in\mathbb Z$ .

O, multiplicando por el gcd de los coeficientes, equivalente a $P''_S$ :

Si $p\in\mathbb Z[X]$ y $m\in\mathbb Z$ , $m\mid p(x)$ para todos $x\in S$ si $m\mid p(n)$ para todos $n$ .

Por supuesto, esto no es cierto para todos $S$ : cuando $S=2\mathbb Z$ , $2\mid x$ para $x\in S$ pero no para $x\notin S$ . Esto tampoco es cierto cuando $S$ es finito. Pero hay esperanza porque cuando $S$ contiene un número arbitrario de números enteros consecutivos, es bien sabido que $P_S$ es verdadera por interpolación con coeficientes binomiales.

Entonces, ¿sería esto cierto cuando $S$ ¿es el conjunto de los primos? No, porque los primos nunca son múltiplos de 6. Así que podemos definir $$p(n)=\binom{n-1}{5}$$ y $6\mid p(n)$ cuando $n\ne 0 \pmod 6$ pero $p(n)=1 \pmod 6$ cuando $n=0 \pmod 6$ demostrando que no basta con fijarse en los números primos para entender el comportamiento de $p$ .

De hecho, tenemos la siguiente caracterización:

Teorema : $P_S$ es verdadera si y sólo si para todo $n$ , $\mathbb Z/n\mathbb Z\subseteq S \pmod n$ es decir, si y sólo si $S\cap(n\mathbb Z+a)\ne\emptyset$ para todos $a,n$ .

Prueba :

• Si $P_S$ es verdadera, entonces dado $a$ mod $n$ , $p(x)=\binom{x-a-1}{n}$ es un polinomio de valor entero que no es múltiplo de $n$ para todos $x$ por lo que debe haber algún $x\in S$ tal que $n$ no divide $p(x)$ y esto implica que $x=a \pmod n$ Así que $\mathbb Z/n\mathbb Z\subseteq S \pmod n$ .
• Supongamos que $\mathbb Z/n\mathbb Z\subseteq S \pmod n$ . Si $p\in\mathbb Z[X]$ y $p(x)=0 \pmod m$ para todos $x\in S$ entonces $p(x)=0 \pmod m$ para todos $x\in\mathbb Z/m\mathbb Z$ y por lo tanto para todos $x\in\mathbb Z$ . Así que $P''_S$ es cierto.