¿Por qué son casi constantes las diferencias angulares de estos coeficientes polinómicos complejos aleatorios?

Question

Esto se basa en მამუკა ჯიბლაძე's (not-)answer aquí . Supongo que es mejor crear un nuevo hilo para ello.
Permítanme repetir la configuración aquí: Consideramos polinomios cuyas raíces complejas están distribuidas aleatoriamente en varios sentidos (digamos, uniformemente en un cuadrado alrededor de cero). ¿Se puede decir algo sobre la distribución de los coeficientes?
He tomado 500 números complejos aleatorios elegidos uniformemente en un cuadrado unitario alrededor de O, es decir $[-\frac12,\frac12 ]\times [-\frac12,\frac12]$ y que PARI muestre los coeficientes del polinomio con esas 500 raíces. Los consecutivos son conjuntos, y la precisión \p1000 que elegí debe producir gráficos precisos.
Haciendo esto para varias docenas de polinomios, he aquí algunos tipos de patrones que surgen repetidamente. La mayoría de ellos son distintos de los que muestra მამუკა ჯიბლაძე, aunque de vez en cuando obtuve formas parecidas a las cicloides (pero menos "suaves"). Las tres de más a la derecha son más irregulares, lo que parece ocurrir con menos frecuencia.

Lo que más parecen tener en común es el hecho de que los argumentos de los coeficientes consecutivos tienden a estar bastante equidistantes, razón por la cual al enlazarlos se obtienen espirales (como #2 y #5) o constelaciones en forma de estrella (como #1 y #8). Así que he mostrado los argumentos de los coeficientes en orden. (El argumento sólo se define módulo $\pi$ por lo que si la diferencia de dos consecutivos es $>\dfrac\pi2$ en absoluto, lo he corregido por $\pm\pi$ para eliminar los saltos antinaturales en la pantalla. Es probable que algunos de los "pliegues" (o "reflejos") se deban todavía a eso, por ejemplo en #4 y #8 abajo, en lugares donde la pendiente está cerca de $\pm\frac\pi2$ .) Nótese que los siguientes gráficos no corresponden a los mismos polinomios que los anteriores, sino que se han elegido de nuevo para dar una idea bastante representativa de lo que puede ocurrir. He incluido aquí la graduación del eje y por comodidad.

Resulta que, en la mayoría de los casos, la curva de argumentos es aproximadamente "lineal a trozos". ¿Puede explicarse esto estadísticamente?

Obsérvese que muchas cosas pueden explicarse de forma similar a Respuesta de David Speyer a una pregunta anterior pero para los ángulos (argumentos) me parece menos obvio.

Es una buena idea dividir todos los ceros de este "polinomio bruto" $\sum c_kx^k$ por $\sqrt[n]{|c_0|}$ . Este escalado plano no cambia los ángulos (argumentos) anteriores y hace que el polinomio sea más "simétrico". BTW, en cuanto a los (logaritmos decimales de) valores absolutos de los coeficientes, todas las curvas, una vez escaladas, se aproximan a la parábola dada por მამუკა ჯიბლაძე.

Answer 1

Sospecho que hay problemas numéricos y problemas con el generador de números aleatorios simultáneamente.

También obtengo valores locos (es decir, muy grandes y también alguna estructura como se muestra arriba) para los coeficientes incluso cuando pongo los ceros en el $N$ -enésima raíz de la unidad. Esto se ve mejor, cuanto más grande $N$ . Esto sugiere que el cálculo de los coeficientes a partir de las raíces se realiza de forma numéricamente inestable.

Mis imágenes de coeficientes no cambiaron cualitativamente cuando cambié el generador de números aleatorios. Sin embargo, observé un resultado diferente cuando permuté las raíces aleatoriamente y luego volví a calcular los coeficientes. Deberían ser iguales, pero no lo eran. Además, las imágenes parecían cualitativamente diferentes. Esto sugiere de nuevo que el cálculo de los coeficientes es inestable y también que "permutar coeficientes al azar da otro tipo de azar".

Por ejemplo, con

z = exp(2*pi*1i*(rand(N,1)));
a = poly(z);
subplot(1,2,2),plot(a,'-.'),axis equal, grid on
z2 = z(randperm(N));
z2 = z2(randperm(N));
a2 = poly(z);
subplot(1,2,1);a2 = poly(z2);plot(a2,'-.');axis equal, grid on

en MATLAB obtengo lo siguiente

(Por alguna razón he representado los coeficientes tras la doble repermutación de la raíz a la izquierda y los coeficientes del polinomio original a la derecha). En otros ejemplos la diferencia no era tan drástica, pero se observaba con frecuencia un error puntual entre los coeficientes superior al 10%.