Si $L(V,W)\neq \{0\}$ cuando $0\neq W\leq V$ et $V$ ¿es un espacio vectorial de dimensión infinita?

Question

Un lema es que:

Sea $V$ sea un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo $F$ y que $T\in L(V,V)$ . Entonces existe una transformación lineal no nula $S\in L(V,V)$ tal que $TS=0$ si y sólo si existe un vector no nulo $v\in V$ tal que $T(v)=0$ .

Esta prueba no es difícil. Quiero saber si es cierta cuando $V$ ¿es de dimensiones infinitas? Cuando el tal $S$ existe, podemos encontrar fácilmente $v$ . Pero no puedo hacer la afirmación inversa. De hecho, necesito encontrar un $S\neq 0$ tal que $\operatorname{Image}(S)\subseteq \ker(T)$ . Sabemos que $\ker(T)$ es un subespacio de $V$ y así $S\in L(V,\ker(T))$ . Por lo tanto, si $L(V,\ker(T))\neq \{0\}$ cuando $\ker(T)\neq 0$ ?

Answer 1

Correcto, esta es una propiedad local y por lo tanto sólo importa en dimensiones finitas. Si $TS=0$ entonces $T(S(v))=0$ para cualquier vector. Si $T(v)=0$ ampliar $v$ a una base $\{v\}\cup B$ y definir $S(v)=v$ et $S(b)=0$ para $b\in B$ . Entonces claramente $TS=0$ .

Answer 2

La misma prueba funciona. Sea $v$ un vector distinto de cero para que $T(v)=0$ . Ampliar $\{v\}$ a una base para $V$ digamos, $\{v\}\cup\{v_i: i\in I\}$ . Ahora defina $S$ sobre la base siguiente $S(v)=v$ et $S(v_i)=0$ para todos $i\in I$ a continuación, amplíe $S$ por linealidad a todos $V$ . Ahora es fácil que $S$ es el requerido.