¿Cómo calcular el valor esperado de una distribución normal estándar?

Question

Me gustaría aprender a calcular el valor esperado de una variable aleatoria continua. Parece que el valor esperado es $$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x)\mathrm{d}x$$ donde $f(x)$ es la función de densidad de probabilidad de $X$ .

Supongamos que la función de densidad de probabilidad de $X$ es $$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x^{2}}{2}}$$ que es la densidad de la distribución normal estándar.

Por lo tanto, primero introduciría el PDF y obtendría $$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x^{2}}{2}}\mathrm{d}x$$ que es una ecuación de aspecto bastante desordenado. La constante $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ puede desplazarse fuera de la integral, dando $$E[X] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} xe^{\frac{-x^{2}}{2}}\mathrm{d}x.$$

Me quedo atascado aquí. ¿Cómo calculo la integral? ¿Lo estoy haciendo correctamente hasta ahora? ¿Es la forma más sencilla de obtener el valor esperado?

Answer 1

Ya casi está, sigue tu último paso:

$$E[X] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} xe^{\displaystyle\frac{-x^{2}}{2}}\mathrm{d}x\\=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2/2}d(-\frac{x^2}{2})\\=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\mid_{-\infty}^{\infty}\\=0$$ .

O puede utilizar directamente el hecho de que $xe^{-x^2/2}$ es una función impar y los límites de la integral son simétricos respecto a $x=0$ .

Answer 2

Puesto que desea aprender métodos para calcular las expectativas, y desea conocer algunas formas sencillas, le gustará utilizar la función función generadora de momentos (mgf)

$$\phi(t) = E[e^{tX}].$$

El método funciona especialmente bien cuando la función de distribución o su densidad se dan como exponenciales en sí mismas. En este caso, en realidad no hay que hacer ninguna integración después de observar

$$t^2/2 -\left(x - t\right)^2/2 = t^2/2 + (-x^2/2 + tx - t^2/2) = -x^2/2 + tx,$$

porque, escribiendo la función de densidad normal estándar en $x$ como $C e^{-x^2/2}$ (para una constante $C$ cuyo valor no necesitará conocer), esto le permite reescribir su mgf como

$$\phi(t) = C\int_\mathbb{R} e^{tx} e^{-x^2/2} dx = C\int_\mathbb{R} e^{-x^2/2 + tx} dx = e^{t^2/2}C\int_\mathbb{R} e^{-(x-t)^2/2} dx .$$

A la derecha, siguiendo el $e^{t^2/2}$ término, reconocerás la integral de la probabilidad total de una distribución Normal con media $t$ y varianza unitaria, que por tanto es $1$ . En consecuencia

$$\phi(t) = e^{t^2/2}.$$

Como la densidad Normal se hace pequeña en valores grandes tan rápidamente, no hay problemas de convergencia independientemente del valor de $t$ . $\phi$ es analítica reconocible en $0$ lo que significa que es igual a su serie MacLaurin

$$\phi(t) = e^{t^2/2} = 1 + (t^2/2) + \frac{1}{2} \left(t^2/2\right)^2 + \cdots + \frac{1}{k!}\left(t^2/2\right)^k + \cdots.$$

Sin embargo, dado que $e^{tX}$ converge absolutamente para todos los valores de $tX$ también podemos escribir

$$E[e^{tX}] = E\left[1 + tX + \frac{1}{2}(tX)^2 + \cdots + \frac{1}{n!}(tX)^n + \cdots\right] \\ = 1 + E[X]t + \frac{1}{2}E[X^2]t^2 + \cdots + \frac{1}{n!}E[X^n]t^n + \cdots.$$

Dos series de potencias convergentes sólo pueden ser iguales si lo son término a término, de donde (comparando los términos que implican a $t^{2k} = t^n$ )

$$\frac{1}{(2k)!}E[X^{2k}]t^{2k} = \frac{1}{k!}(t^2/2)^k = \frac{1}{2^kk!} t^{2k},$$

que implica

$$E[X^{2k}] = \frac{(2k)!}{2^kk!},\ k = 0, 1, 2, \ldots$$

(y todas las expectativas de impar poderes de $X$ son cero). Prácticamente sin esfuerzo se han obtenido las expectativas de todas las potencias integrales positivas de $X$ de una vez.

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Variaciones de esta técnica pueden funcionar igual de bien en algunos casos, como por ejemplo $E[1/(1-tX)] = E[1 + tX + (tX)^2 + \cdots + (tX)^n + \cdots]$ siempre que el intervalo de $X$ está convenientemente limitado. El mgf (y su pariente cercano el función característica $E[e^{itX}]$ ) son tan útiles en general que las encontrará en las tablas de propiedades distributivas, como en la tabla Entrada de Wikipedia sobre la distribución Normal .

Answer 3

Una forma más directa y general de calcular este tipo de integrales es mediante el cambio de variable: Supongamos que su distribución normal tiene media $\mu$ y varianza $\sigma^2$ : $\mathcal{N(\mu, \sigma^2)}$ $$ E(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2 \pi}} \int x \exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2})dx $$ ahora cambiando la variable $y = \frac{x-\mu}{\sigma}$ et $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sigma} \rightarrow dx = \sigma dy$ .

$$ E(x) = \frac{\sigma}{\sigma\sqrt{2 \pi}} \int (\sigma y + \mu) \exp(-\frac{y^2}{2})dy = \\ \frac{\sigma}{\sigma\sqrt{2 \pi}} \left[ \int \sigma y e^{-\frac{y^2}{2}} dy + \mu \int e^{-\frac{y^2}{2}} dy \right] $$ La primera integral es una integral impar ya que $y$ es una función impar y $e^{-\frac{y^2}{2}}$ es una función par que da lugar a una función impar con límites integrales simétricos y es cero. La segunda integral tiene una respuesta de $2\pi$ . $$ E(x) = \frac{\mu \sigma \sqrt{2 \pi}}{\sigma \sqrt{2 \pi}} = \mu $$ En su caso, dado que su distribución tiene una media de cero según su definición, la respuesta es $E(x) = 0$ .