¿Cuál es la interpretación de una matriz unitaria?

Question

Sé que una matriz unitaria es una matriz cuya inversa es igual a su transpuesta conjugada (o que multiplicándola por su transpuesta conjugada se obtiene la identidad), pero no tengo una intuición profunda al respecto (simplemente acepto la definición). Así, por ejemplo, cuando me encuentro con la afirmación de que las descomposiciones singulares izquierda y derecha $U$ et $V$ en el SVD son unitarios, no entiendo el significado. Agradecería que alguien me iluminara para atar cabos y cómo sentirme cuando me encuentro con matrices unitarias. Tengo la sensación de que hay algo no escrito que me estoy perdiendo.

Answer 1

Estructuralmente, las matrices unitarias son rotaciones y reflexiones. Quizá sea más claro imaginar primero la diagonalización unitaria antes que la descomposición de valor singular. Supongamos que diagonalizamos unitariamente $$A = UDU^{\dagger}$$ En la diagonalización unitaria, primero rotamos (y posiblemente reflejamos) desde nuestra base estándar a nuestra nueva base ortonormal. Esta es la acción de $U^{\dagger}$ . A continuación, realizamos estiramientos por las magnitudes de los valores propios en las respectivas direcciones de base. Esta es la acción de la matriz diagonal $D$ . Finalmente volvemos a nuestra base original, que es la acción de $U$ que invierte $U^\dagger$ .

La acción de una descomposición de valor singular es prácticamente idéntica, salvo que la matriz "diagonal" $\Sigma$ no necesariamente mapea el mismo espacio a sí mismo, de modo que las rotaciones ocurren en diferentes espacios vectoriales.

Answer 2

Las matrices unitarias son los análogos complejos de matrices ortogonales y ambos son muy comunes en la teoría de los grupos de Lie y las álgebras de Lie. Las matrices ortogonales son las representaciones matriciales de mapas lineales reales que preservan la distancia. Las matrices unitarias son las versiones complejas, y son las representaciones matriciales de mapas lineales en espacios vectoriales complejos que preservan las "distancias complejas".

Si se tiene un espacio vectorial complejo, en lugar de utilizar el producto escalar como se haría en un espacio vectorial real, se utiliza la función Producto hermitiano . El producto hermitiano de dos vectores complejos (considerado como $n$ -por- $1$ matrices), digamos $v$ et $w$ se define como $\langle v,w\rangle = \overline{v}^{\top}\! w$ .

Considere una $n$ -por- $n$ matriz, digamos $M$ con entradas complejas que actúan sobre $\mathbb{C}^n$ . La matriz conserva el producto hermitiano si y sólo si $\langle Mv,Mw\rangle = \langle v,w\rangle$ :

$$\langle Mv, Mw \rangle = \langle v,w\rangle \iff \overline{(Mv)}^{\top}(Mw) = \overline{v}^{\top}w \iff \overline{v}^{\top}(\overline{M}^{\top}\!\! M)w = \overline{v}^{\top}w \, .$$ Así, $M$ conserva el producto hermitiano si y sólo si $\overline{M}^{\top}\!\! M$ es el $n$ -por- $n$ matriz identidad, es decir $M$ es una matriz unitaria.

Answer 3

Las matrices unitarias son precisamente aquellas matrices que conservar el producto interior hermitiano.

$$\langle v,w \rangle = \langle Uv,Uw \rangle$$

Por tanto, preserva la distancia o longitud de un vector en el espacio unitario (el espacio vectorial de dimensión finita sobre el campo de números complejos $\mathbb{C}$ con un producto interior) bajo rotación o reflexión.