Reescalado de una EDO

Question

Tengo un problema de Cauchy

$$ \left\{ \begin{array}{l} \dot{x} = f(x) \\ x(0) = x_0 \end{array} \right. $$

con $x = x(t)$ . Supongamos que $y(t) = a x\left(\frac{t}{b}\right)$ donde $a$ et $b$ son constantes reales.

Me gustaría escribir otro problema de Cauchy para la variable $y$ :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \dot{y} = g(y, a, b) \\ y(0) = y_0(x_0, a, b) \end{array} \right. $$

Es fácil demostrar que $y(0) = y_0(x_0, a, b) = ax_0$ . ¿Qué puedo decir sobre $g(y, a, b)$ ?

Answer 1

¡¡¡Por fin lo conseguí!!!

Para una ODE general como:

$$\frac{d}{dt}x(t) = f(x(t), t)$$

tenemos eso:

$$\begin{array}{rl} \displaystyle\frac{d}{dt}y(t) & = \displaystyle\frac{d}{dt}a x\left(\frac{t}{b}\right) \Rightarrow \\ \displaystyle\frac{d}{dt}y(t) & = \displaystyle\frac{a}{b} f\left(x\left(\frac{t}{b}\right), \frac{t}{b}\right) = \frac{a}{b} f\left(\frac{y(t)}{a} , \frac{t}{b}\right) = g(y(t),t,a,b), \end{array}$$

et

$$y(0) = y_0(x_0, a, b) = ax_0$$