Rayos geodésicos equivalentes

Question

Estoy leyendo el libro "Espacios métricos de curvatura no positiva" de Bridson y Haefliger. En la página 427 se dice lo siguiente:

Dos rayos geodésicos $c, c^\prime \colon [0, \infty)\rightarrow X$ se dice que son asintóticas si $\sup_{t} d(c(t),c^\prime(t))$ es finita; esta condición equivale a decir que la distancia de Hausdorff entre las imágenes de $c$ et $c^\prime$ es finito.

La distancia de Hausdorff de subconjuntos generales $A,B$ se define del siguiente modo: $d_{H}(A,B)=\inf\{ \epsilon \mid A \subseteq N_{\epsilon}(B), B\subseteq N_{\epsilon}(A)\}$

Está claro que si $\sup_{t} d(c(t),c^\prime(t))$ es finita, la distancia de Hausdorff es finita.

Supongamos ahora que la distancia de Hausdorff es finita (digamos $k$ ) y que $t\in [0, \infty)$ . Entonces, existe $t^\prime \in [0, \infty)$ tal que $d(c(t), c^\prime(t^\prime)) \leq k$ . Por lo tanto, $d(c(t), c^\prime(t)) \leq d(c(t), c^\prime(t^\prime))+ d(c^\prime(t^\prime), c^\prime(t))\leq k+d(c^\prime(t^\prime),c^\prime(t))=k+|t-t^\prime|$ .

Debería encontrar un límite superior independiente de $t$ para ese número, pero no sé cómo proceder. ¿Alguien puede ayudarme? Gracias de antemano.

Answer 1

Supongamos que la distancia de Hausdorff está acotada anteriormente por $K<\infty$ .

Sea $C_0=|c(0)-c'(0)|$ .

Fijar $t\in \mathbb{R}$ queremos limitar $|c(t)-c'(t)|$ . Sea $t'$ sea un punto para el cual $|c(t)-c'(t')|\leq K$ .

Sabemos que la distancia desde $c'(0)$ a $c'(t')$ es $t'$ porque $c'$ es una geodésica.

Alternativamente, podemos saltar de $c'(t')$ a $c(t)$ y de $c(t)$ a $c(0)$ y, por último, de $c(0)$ a $c'(0)$ . La longitud total de este camino está limitada por $K+t+C_0$ .

Concluimos que $t'\leq K+t+C_0$ (Formalmente, aquí estoy utilizando dos veces la desigualdad del triángulo).

Un argumento similar demuestra que $t\leq K+t'+C_0$ .

Así que $|t-t'| \leq K+C_0$ .

Combina esto con lo que ya has escrito más arriba.