Forma cerrada para $\int_0^\infty\frac{1}{(1+x^2)^s}\,dx$ cuando $s\in (0.5,\infty)\setminus\mathbb{N}$

Question

Sé que la integral impropia $$\int_0^\infty\frac{1}{(1+x^2)^s}\,dx$$ es convergente para $s>0.5$ y divergente en caso contrario. Además, tiene una forma cerrada para $s \in \mathbb{N}$ (esto se puede obtener utilizando el Teorema del Residuo). Mi pregunta es saber si tiene una forma cerrada para cualquier no entero $s >0.5$ .

Answer 1

Depende de lo que entiendas por forma cerrada. Cambiando las variables a $u=x^2$ tenemos que la integral es igual a $$I= \frac{1}{2}\int_0^{\infty} \frac{u^{-1/2}}{(1+u)^s} \, du,$$ donde por definición $$\Gamma(s) = \int_0^{\infty} t^{s-1} e^{-t} \, dt$$ Ahora, utilizando $$\frac{1}{(1+u)^s} = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^{\infty} \alpha^{s-1} e^{(1+u)\alpha} \, d\alpha,$$ y cambiando el orden de integración se obtiene $$I = \frac{1}{2\Gamma(s)}\int_0^{\infty} \alpha^{s-1}e^{-\alpha} \left( \int_0^{\infty} u^{-1/2} e^{-u\alpha} du \right) \, d\alpha = \frac{1}{2\Gamma(s)}\int_0^{\infty} \alpha^{s-1/2-1}\Gamma(1/2) e^{-\alpha} d\alpha = \frac{\Gamma(1/2)\Gamma(s-1/2)}{2\Gamma(s)}.$$

Ahora, para responder a su pregunta, $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$ , básicamente porque se puede sustituir para convertir esta integral Gamma en la integral Gaussiana, $e^{-x^2}$ . Del mismo modo, puesto que $\Gamma(s+1) = s\Gamma(s)$ si $s$ es un entero o un medio entero, se puede reducir la forma final del valor de la integral a un producto de factoriales (posiblemente incluyendo también un $\pi$ ). Para otros valores de $s$ no se conocen formas cerradas en términos de funciones más elementales para la función Gamma. Que yo sepa, al menos.

Answer 2

Sustituyendo $u=\frac{1}{1+x^2}$ tenemos, a través de la de Euler Función beta : $$\forall s>\frac{1}{2},\qquad \int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{(1+x^2)^s}= \frac{\sqrt{\pi}}{2}\cdot\frac{\Gamma\left(s-\frac{1}{2}\right)}{\Gamma(s)}.$$ Dado que la transformada de Fourier de $\frac{1}{1+x^2}$ es $e^{-|t|}$ para valores enteros de $s$ podemos leer la línea anterior en términos de una convolución de Distribuciones de Laplace .