¿Cómo se derivan las reglas de Feynman, en general?

Question

Ya se han planteado aquí algunas preguntas sobre la derivación de las reglas de Feynman en casos concretos (por ejemplo Signo de las reglas de Feynman con acoplamientos derivados , Reglas de Feynman para sistemas acoplados , ¿Cómo podemos derivar la regla de Feynman para el 3-vértice QED ordinario? , Receta para calcular factores de vértice en diagramas de Feynman ). Sin embargo, parece que falta un debate más general, de ahí esta pregunta.

1. ¿Cómo se Reglas de Feynman para una teoría genérica derivada de la Densidad lagrangiana ? ¿Cómo se relacionan entre sí las distintas metodologías (por ejemplo, segunda cuantización, cuantización funcional)? ¿Cuándo (o si) es preferible una a las otras?

2. ¿Cuándo y por qué surgen complicaciones adicionales (como Faddeev-Popov procedimientos) que intervienen en la elaboración de las normas?

Answer 1

1. La forma más sencilla es observar la amplitud de un proceso arbitrario (matriz S), expandirla en una serie de alguna constante, luego - utilizar el teorema de Wick y, finalmente, obtener que la amplitud n-ésima consiste en la suma sobre multiplicaciones de todos los números posibles de propagadores y operadores de campo de orden normal.

   A veces es conveniente utilizar métodos no perturbativos. Formalmente significa que cambiamos la representación de interacción por la representación de Heisenberg e introducimos funciones de n puntos. Se puede demostrar que la función de n puntos en la representación de Heisenberg $$ \tag 1 \langle | \hat{T}\left(\hat{\varphi}^{H}_{1}...\hat{\varphi}^{H}_{n}\right)|\rangle $$ consiste en todos los diagramas de Feynman con $n$ líneas externas para una teoría determinada. Utilizando esta idea se pueden "demostrar" las reglas de Feynman incluso en el formalismo no perturbativo, pero modificando los campos, la masa y las constantes de contorno (teorema LSZ).

   La conexión entre el formalismo de operadores y el formalismo de integración de trayectorias se encuentra en los diferentes métodos de cálculo de funciones de n puntos. Por ejemplo, en términos de integración de trayectorias $(1)$ parece $$ \langle | \hat{T}\left(\hat{\varphi}^{H}_{1}...\hat{\varphi}^{H}_{n} \right)|\rangle = \left[\frac{\delta }{\delta J_{1}}...\frac{\delta }{\delta J_{n}}\int D\varphi_{1}...D\varphi_{n}e^{i S[\varphi] + i\int d^{4}x J^{i}\varphi_{i}} \right]_{J = 0}. $$

   El formalismo de integración de trayectorias es muy conveniente porque incluye la acción completa de la teoría (no sólo los sumandos de interacción), por lo que contiene toda la información sobre las simetrías de la teoría. Ayuda a derivar relaciones para funciones de vértice (como identidades de Slavnov-Taylor, identidades de Ward, etc.). También se pueden "derivar" las reglas de Feynman utilizando únicamente el formalismo de integración de trayectorias.

2. Las complicaciones de la descripción en su mayoría pueden aparecer sólo cuando se utiliza la descripción no perturbativa para los procesos. Hay tres ejemplos.

   1. Cuando se utiliza la teoría de perturbaciones estándar (expandiendo el operador S en una serie) automáticamente no se tienen en cuenta los estados limitados (como el pión) y las configuraciones topológicas (como los instantones) que también aparecen en la teoría de interacciones. Pero los métodos no perturbativos permiten tener en cuenta estas complicaciones.

   2. Cuando asumes alguna teoría con conexiones del primer tipo entre coordenadas canónicas y momento (como las teorías gauge) necesitas eliminar este problema, porque no permite determinar conjunto independiente de variables dinámicas (es decir, cuantizar la teoría). Pero cuando se utiliza alguna condición gauge, esto ayuda a eliminar el problema (en el lenguaje de la integración de trayectorias significa que se reduce el número de integraciones en los campos que se encuentran en la órbita gauge), pero el pago por esto es la aparición de campos ficticios (fantasmas).

   3. A veces se rompen algunas simetrías en la descripción no perturbativa. Por ejemplo, es bien conocida la violación de la simetría CP (cuando se asumen construcciones topológicas en el formalismo integral de trayectoria) y la simetría quiral.