¿Qué es lo que $dz$ y $|dz|$ ¿Qué quieres decir?

Question

Me cuesta entender los diferenciales complejos. Sé que cuando tengo un campo $\mathbb K$ y un $\mathbb K-$ espacio vectorial $\mathbb K^n,$ entonces definimos $dx_i\in \mathrm{Lin}(\mathbb K^n,\mathbb K)$ sobre la base estándar $\{e_i\}_{i=1}^n$ de $\mathbb K^n$ como sigue:

$$ dx_i(e_j)=\begin{cases}1 & \mbox{ for }j=i,\\ 0 & \mbox{ for }j \neq i.\end{cases}$$

Así se define $dx_i$ constituyen la base de $\mathrm{Lin}(\mathbb K^n,\mathbb K)$

Ahora tengo el símbolo $dz$ para $z$ siendo una variable compleja y no estoy seguro de entender lo que significa. Sé que esto se supone que es cierto y una definición de $dz:$

$$dz =d\:\mathrm{Re}(z)+id\:\mathrm{Im}(z).$$

Sin embargo, no puedo entender esta definición. ¿Cuál es el espacio en el que se realizan las operaciones del lado derecho? $\mathrm{Re}(z)$ y $\mathrm{Im}(z)$ son variables reales, ¿verdad? Así que el espacio debería ser $\mathrm{Lin}(\mathbb R^2,\mathbb R).$ Pero este es un $\mathbb R -$ espacio, no un $\mathbb C -$ por lo que la multiplicación por $i$ no debería permitirse.

Y entonces veo el símbolo $|dz|$ y las integrales se calculan con él, como aquí página 3. ¿Qué significa este símbolo?

Edita: Me gustaría mejorar la formulación de una parte de mi problema y publicar mi recién encontrada (gracias a los comentarios) respuesta a esa parte. Tomemos la igualdad

$$dz=dx+idy,$$

donde $x=\mathrm{Re}(z)$ y $y=\mathrm{Im}(z).$ Según la definición del primer párrafo de este post, $dz$ es un $\mathbb C-$ mapa lineal, $dz:\mathbb C\to\mathbb C,$ y $dz=\operatorname{id}_{\mathbb C}.$

Por otro lado, $dx$ y $dy$ son $\mathbb R-$ mapas lineales, $dx,dy:\mathbb R^2\to \mathbb R$ dada por

$$ \begin{eqnarray} dx(e_1)=1,\\ dx(e_2)=0,\\ dy(e_1)=0,\\ dy(e_2)=1. \end{eqnarray} $$

Entiendo que debo llevar a cabo la identificación: $$\mathbb R^2\ni e_1\mapsto 1\in\mathbb C,$$$$ \mathbb R^2\ni e_2\mapsto i\in \mathbb C.$$ Esto me da

$$ \begin{eqnarray} dx(1)=1,\\ dx(i)=0,\\ dy(1)=0,\\ dy(i)=1. \end{eqnarray} $$

Está claro que no son $\mathbb{C}-$ mapas lineales. Este era mi problema. $dy$ no es un $\mathbb{C}-$ mapa lineal sino sólo un $\mathbb{R}-$ mapa lineal de $\mathbb C$ en $\mathbb R.$ El conjunto de todos estos mapas lineales es un $\mathbb R-$ espacio vectorial, no un $\mathbb{C}-$ espacio vectorial por lo que no existe el producto $i\cdot dy.$

Sin embargo, tras los comentarios de Pierre-Yves Gaillard, me di cuenta de que también debía llevar a cabo otra identificación -- en los codominios de $dx$ y $dy:$ $$\mathbb R \ni 1 \mapsto 1\in \mathbb C,$$

es decir, considerar los codominios de $dx$ y $dy$ el eje real del plano complejo. Esto no hace $dx$ y $dy$ $\mathbb C-$ mapas lineales, pero sí las convierte en funciones complejas y, por tanto, permite multiplicarlas por $i$ . Y de hecho, ahora $$dz=\operatorname{id}_{\mathbb C}=dx+idy.$$

Siento haber sido tan obtuso. No estoy seguro de que esta pregunta tenga algún valor para la comunidad, así que tal vez debería eliminar esta parte.

Sin embargo, Sigo sin entender cuál es la definición de $|dz|$ es en estos términos.

Answer 1

Tradicionalmente (por ejemplo, en los escritos de Euler), $dz=dx+i\;dy$ es un cambio infinitamente pequeño ya que $z$ se desplaza una distancia infinitamente pequeña de un punto a otro. Si $\gamma$ es una curva y $z$ se desplaza a lo largo de la curva, entonces $f(z)\;dz$ es un producto de un número complejo finito $f(z)$ y un número complejo infinitamente pequeño $dz$ . La integral $\displaystyle\int_\gamma f(z)\;dz$ es la suma de infinitas de esas cantidades infinitamente pequeñas. Nada de esto es lógicamente riguroso. El papel de este relato no riguroso dentro del relato riguroso es que esto es lo que hay que hacer riguroso.

El valor absoluto $|dz|=\sqrt{dx^2+dy^2}$ es la distancia infinitamente pequeña que $z$ se ha movido a lo largo de la curva. La integral $\displaystyle\int_\gamma dz$ es la suma de todos los cambios infinitamente pequeños en $z$ es el valor final menos el valor inicial. La integral $\displaystyle\int_\gamma |dz|$ es la suma de las longitudes de arco infinitamente pequeñas y, por tanto, es la longitud de arco total.

Quizá te parezca bien decir (en ciertos contextos) $dz\in \mathrm{Lin}(\mathbb C,\mathbb C)$ . No me sorprendería que $|dz|$ no se puede interpretar de la misma manera, pero si no, es sólo una limitación a esa forma de interpretarlo como una forma de hacer estas cosas rigurosas.

Answer 2

Por supuesto, todo lo que dice Michael Hardy es cierto. Tal vez lo siguiente también ayude.

Si $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ es una función suave, entonces podemos hablar de $df$ . Aquí $df$ tomará como entrada un vector tangente real a $\mathbb{C}$ y la salida de un número complejo. Si te gusta, $df$ da un elemento de $\mathrm{Hom}_{\mathbb{R}}(\mathbb{C}, \mathbb{C})$ en cada punto.

En particular, $dz = dx+ i dy$ es una ecuación literalmente verdadera dentro de $\mathrm{Hom}_{\mathbb{R}}(\mathbb{C}, \mathbb{C})$ . Una función $f$ es holomorfa (también llamada analítica) si y sólo si $df$ es un múltiplo complejo de $dz$ en cada punto, en cuyo caso $df = f' dz$ .

Ahora, sobre $|dz|$ . Como dice Savinov Evgeny, $|dz| = \sqrt{(dx)^2+(dy)^2}$ . Esto es algo que toma un vector tangente a $\mathbb{C}$ y devuelve un número real positivo, de forma no lineal.

No sé si éste es el punto de confusión, pero es algo que me confundió durante mucho tiempo y he conocido a otras personas con la misma confusión. Salí de mi primer curso de geometría diferencial pensando que $1$ -forma intrínsecamente anticonmutada. Así que pensé que $dx \wedge dy$ tenía sentido pero $(dx)^2 + (dy)^2$ si significara algo, sería cero. Esto simplemente no es cierto. No hay ningún problema en definir una forma cuadrática $(dx)^2+(dy)^2$ en el espacio tangente a su superficie. Para ello, no hay ningún problema en definir algo como $dx \otimes dx + dx \otimes dy + dy \otimes dy$ que toma dos vectores tangentes y devuelve un escalar que no es ni simétrico ni anti-simétrico. En un curso orientado al teorema de Stokes se hará hincapié en el caso antisimétrico, pero las demás expresiones no tienen nada de malo.