La desigualdad: $x^2+y^2+z^2+t(xy+yz+zx) \geq 0$

Question

Demostrar que $x^2+y^2+z^2+t(xy+yz+zx) \geq 0$ para cualquier $x,y,z \in \mathbb{R}$ y cualquier $t \in [-1,2].$

Un intento:

para $t=-1$ : $x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx \geq 0$ es cierto .

para $t=2$ : $x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx) \geq 0$ es cierto

también para $t=0$ .

Pero ¿cómo se puede probar para $t \in (-1,0)$ y $t \in (0,2)$ .

Tampoco sé si lo que hice es el paso correcto.

Gracias :)

Answer 1

Tenga en cuenta que

\begin{eqnarray} x^2+y^2+z^2+t(xy+yz+zx)&=&\frac{2-t}{3}(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)\\ &&+\frac{1+t}{3}(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2yz) \, . \end{eqnarray}

Su trabajo previo muestra que ambos términos del lado derecho son siempre no negativos para $t \in [-1, 2]$ por lo que el lado izquierdo también lo es.