PDF del producto de variables

Question

¿Podría alguien indicar una estrategia general (si existe) para obtener la FDP (o FCD) del producto de dos variables aleatorias, cada una de las cuales tiene distribuciones y límites conocidos?

Mi necesidad particular es la siguiente: Sea $w :=u \cdot v$ . El PDF de $u$ es $$\frac{1}{\pi u}\frac{1}{\sqrt{u^2-0.25}},$$ para $z>0.5$ y el PDF de $v$ es $$\exp\left(-\frac{v}{v_0}\right),$$ para $v_1<v<v_2$ . ¿Cuál es el PDF de $w$ ?

Answer 1

En caso de que $U$ es una variable aleatoria positiva con PDF $f_U$ y $V$ tiene un sencillo PDF $f_V$ de modo que la FCD correspondiente, $F_V$ también es sencilla, puede ser útil utilizar la siguiente, suponiendo que $U$ y $V$ son independientes. $$ {\rm P}(UV \le x) = \int {{\rm P}(UV \le x|U = u)f_U (u)\,du} = \int {{\rm P}\bigg(V \le \frac{x}{u}\bigg)f_U (u)\,du} = \int {F_V \bigg(\frac{x}{u}\bigg)f_U (u)\,du}. $$ A continuación, puede obtener el PDF de $UV$ tras la diferenciación.

EDIT: He aquí un ejemplo especialmente sencillo. Dejemos que $U$ y $V$ sean uniformes independientes $(0,1)$ rv's. Aquí $f_U (u) = 1$ , $0 < u <1$ , $F_V (v) = v$ , $0 < v < 1$ y $F_V (v) = 1$ , $v \geq 1$ . Así, por la fórmula anterior, para cualquier $0 < x \leq 1$ , $$ {\rm P}(UV \le x) = \int_0^1 {F_V \bigg(\frac{x}{u}\bigg)du} = \int_0^x {F_V \bigg(\frac{x}{u}\bigg)du} + \int_x^1 {F_V \bigg(\frac{x}{u}\bigg)du} $$ $$ = \int_0^x {1\,du} + \int_x^1 {\frac{x}{u}\,du} = x - x\log x. $$ Por lo tanto, el PDF de $UV$ para $0 < x < 1$ por $$ f_{UV} (x) = \frac{d}{{dx}}(x - x\log x) = - \log x. $$

Answer 2

Sea $X$ y $Y$ ser independiente no negativo variables aleatorias, con funciones de densidad $f_X(x)$ y $f_Y(y)$ . Sea $Z=XY$ .

Entonces $$P(Z\le z)=\iint_D f_X(x)f_Y(y)\,dx\,dy.$$ Aquí $D$ es la región del primer cuadrante que está "debajo" de la hipérbola $xy=z$ .

Evalúe la integral y diferencie el resultado con respecto a $z$ para obtener la función de densidad de $Z$ . Normalmente, podemos hacer la diferenciación bajo el signo de la integral, pero aún queda una integral que, como la mayoría de las integrales, puede no ser expresable en términos de funciones estándar.

Un enfoque alternativo consiste en hallar las funciones de densidad de las variables aleatorias $\ln X$ y $\ln Y$ utilizando métodos estándar. A continuación, utilice la fórmula de "convolución" habitual para hallar la función de densidad de $U$ donde $U=\ln X +\ln Y$ . Por último, hallar la función de densidad de $\exp(U)$ .

Añadido : Para mi sorpresa, una integral no muy alejada de lo necesario para la primera aproximación puede expresarse en términos de funciones de Bessel modificadas y funciones de Struve modificadas (sean lo que sean). Eso dice Wolfram Alpha. Por lo tanto, puede haber una especie de forma cerrada para su función de densidad. Habría, de todos modos, si lo que se llama $v$ en el problema era un exponencial simple. Yo sugeriría también intentar el segundo enfoque.

Answer 3

Esta es otra forma de utilizar convolución y la ecuación funcional del logaritmo natural , proporcionado $X,Y \ge 1$ casi seguro.

Teorema. (Convolución) Sea $X,Y$ sean dos distribuciones independientes $\mathbb{R}$ -con las PDF $f_X$ y $f_Y$ . Entonces su suma $Z := X + Y$ tiene un PDF $f_Z = f_X \ast f_Y$ .

Prueba. Para $z \in \mathbb{R}$ tenemos \begin{align*} \mathbb{P}(X + Y \le z) & = \iint\limits_{\{(x,y): x + y \le z\}} f_{X}(x) f_{Y}(y) \ \text{d}y \ \text{d}x = \int_{\mathbb{R}} \int_{-\infty}^{z - x} f_{X}(x) f_{Y}(y) \ \text{d}y \ \text{d}x \\ & = \int_{\mathbb{R}} \int_{-\infty}^{z} f_{X}(x) f_{Y}(y - x) \ \text{d}y \ \text{d}x \\ & = \int_{-\infty}^{z} \int_{\mathbb{R}} f_{X}(x) f_{Y}(y - x) \ \text{d}x \ \text{d}y = \int_{-\infty}^{z} f_Z(y) \ \text{d}y. \end{align*}

"El método del logaritmo" Desde $\ln(XY) = \ln(X) + \ln(Y)$ sabemos que $$f_{\ln(Z)} = f_{\ln(X)} \ast f_{\ln(Y)}$$ Por lo tanto, para $k \ge 1$ tenemos \begin{align*} \mathbb{P}(XY \le k) & = \mathbb{P}(\ln(XY) \le \ln(k)) = \int_{-\infty}^{\ln(k)} f_{\ln(Z)}(y) \ \text{d}y \\ & = \boxed{\int_{-\infty}^{\ln(k)} \int_{\mathbb{R}} f_{\ln(Z)}(x) f_{\ln(Y)}(y-x) \ \text{d}x \ \text{d}y.} \end{align*}