Supongamos que $dx_i$ es la base dual en $R^n$ para que $$dx_i (e_j) = \delta_{ij}.$$ Para mí tiene sentido cómo funcionan las 1-formas: una 1-forma evaluada en un punto da algún funcional lineal, que toma vectores tangentes a escalares. Pero para k-formas evaluadas en puntos, no estoy exactamente seguro de cómo un producto cuña de funcionales lineales toma un producto cuña de vectores (un k-paralelepípedo) a un escalar.
¿Cómo puede $ dx_1 \wedge dx_2 $ actuar $ e_1 \wedge e_2 $ ? ¿Cómo, digamos, $ dx_1 \wedge dx_3 $ actuar $ e_1 \wedge e_2 $ ? Y en general, ¿cómo puede un elemento de $$\wedge^k(R^{n*}) \simeq \wedge^k(R^{n})^*$$ (¿es correcto el isomorfismo?) actúan sobre un elemento de $\wedge^k(R^n)$ ?
Por último, ¿cómo se relaciona esto con el jacobiano en la definición de Rudin de la acción de una forma-k sobre una superficie-k?
Como referencia: Rudin dice que una forma k en $E$ ( $\subset R^n$ ) es una función $\omega$ representada simbólicamente por la suma $$\omega = \sum{a_{i_1 \cdots i_k}(x) dx_{i_1}\wedge \cdots \wedge dx_{i_k}}$$
(donde los índices $i_1, \ldots, i_k$ van independientemente de 1 a n), que asigna a cada k-superficie $\phi$ en $E$ un número $\omega(\phi) = \int_{\phi}{\omega}$ según la norma $$\int_{\phi}{\omega}= \int_{D}{\sum{a_{i_1 \dots i_k}(\phi(u)) \frac{\partial (x_{i_1}, \ldots, x_{i_k})}{\partial (u_1, \ldots, u_k)} du}},$$
donde $D$ es el dominio (compacto) de $\phi$ (por ejemplo, la célula k $[0,1]^k$ ) y $\frac{\partial (x_{i_1}, \ldots, x_{i_k})}{\partial (u_1, \ldots, u_k)}$ es el jacobiano.
