¿Cómo actúa la cuña de vectores duales sobre una cuña de vectores?

Question

Supongamos que $dx_i$ es la base dual en $R^n$ para que $$dx_i (e_j) = \delta_{ij}.$$ Para mí tiene sentido cómo funcionan las 1-formas: una 1-forma evaluada en un punto da algún funcional lineal, que toma vectores tangentes a escalares. Pero para k-formas evaluadas en puntos, no estoy exactamente seguro de cómo un producto cuña de funcionales lineales toma un producto cuña de vectores (un k-paralelepípedo) a un escalar.

¿Cómo puede $dx_1 \wedge dx_2$ actuar $e_1 \wedge e_2$ ? ¿Cómo, digamos, $dx_1 \wedge dx_3$ actuar $e_1 \wedge e_2$ ? Y en general, ¿cómo puede un elemento de $$\wedge^k(R^{n*}) \simeq \wedge^k(R^{n})^*$$ (¿es correcto el isomorfismo?) actúan sobre un elemento de $\wedge^k(R^n)$ ?

Por último, ¿cómo se relaciona esto con el jacobiano en la definición de Rudin de la acción de una forma-k sobre una superficie-k?

Como referencia: Rudin dice que una forma k en $E$ ( $\subset R^n$ ) es una función $\omega$ representada simbólicamente por la suma $$\omega = \sum{a_{i_1 \cdots i_k}(x) dx_{i_1}\wedge \cdots \wedge dx_{i_k}}$$

(donde los índices $i_1, \ldots, i_k$ van independientemente de 1 a n), que asigna a cada k-superficie $\phi$ en $E$ un número $\omega(\phi) = \int_{\phi}{\omega}$ según la norma $$\int_{\phi}{\omega}= \int_{D}{\sum{a_{i_1 \dots i_k}(\phi(u)) \frac{\partial (x_{i_1}, \ldots, x_{i_k})}{\partial (u_1, \ldots, u_k)} du}},$$

donde $D$ es el dominio (compacto) de $\phi$ (por ejemplo, la célula k $[0,1]^k$ ) y $\frac{\partial (x_{i_1}, \ldots, x_{i_k})}{\partial (u_1, \ldots, u_k)}$ es el jacobiano.

Answer 1

La cuña $\omega_1 \wedge \ldots \wedge \omega_k$ actúa sobre $v_1 \wedge \ldots \wedge v_k$ como $$\omega_1 \wedge \ldots \wedge \omega_k \cdot v_1 \wedge \ldots \wedge v_k = \det ( \omega_i (v_j) )_{1\le i,j\le k}$$

A veces aparecen factores de normalización que implican factoriales, porque los espacios de los tensores covariantes y contravariantes alternos se consideran dentro del espacio de los tensores usuales. Pero más o menos, hasta un factor, este es el emparejamiento.

Según esta definición, $dx_1 \wedge dx_2 \cdot e_1 \wedge e_2$ es el determinante del $2\times 2$ matriz identidad, es decir $1$ . Y $dx_1 \wedge dx_3 \cdot e_1 \wedge e_2$ es cero, porque es el det de una matriz con segunda fila cero.

Esto de los determinantes aparece en otras situaciones. Por ejemplo, tenemos la siguiente fórmula para vectores usuales en $3$ (el producto punto de algunos productos cruzados)

$$v_1\times v_2 \cdot w_1 \times w_2= \det (v_i \cdot w_j)_{1\le i,j, \le 2}$$