Sobre el mapa lineal, continuo e inyectivo $T:V \to W$ con imagen cerrada/densa

Question

Sea $V,W$ sean espacios lineales normados y $T:V \to W$ sea un mapa lineal continuo e inyectivo .

Entonces es $T^{**}: V^{**} \to W^{**}$ ¿es inyectiva? Si esto no es cierto en general, ¿qué pasa si además suponemos $Im T$ es cerrado/denso en $W$ ?

Mi intento: $g\in \ker T^{**} \implies g\circ T^*=T^{**}(g)=0 \implies g(T^*(f))=0, \forall f \in W^*$ .

Así que $Im (T^*) \subseteq \ker g$ .

Ahora $\{0\}=\ker T^{**} $ sólo si $g\circ T^*=0,\forall g\in \ker T^{**}$ sólo si $\ker g=V^*, \forall g \in \ker T^{**}$ .

Ahora bien $Im(T^*)$ es denso en $V^*$ entonces $Im (T^*) \subseteq \ker g$ y $\ker g$ está cerrado implicaría fácilmente $\ker g=V^*$ pero desgraciadamente no lo sabemos. $Im (T^*)$ es denso en $V^*$ .

No sé cómo seguir adelante.

Answer 1

Estoy casi seguro de que esto no es cierto en general sin asumir que $T$ tiene la imagen cerrada. Ahora no se me ocurre ningún contraejemplo, pero estoy casi seguro.

Sin embargo, si se parte de la base de que $T$ tiene imagen cerrada entonces el resultado se sigue; probamos las dos afirmaciones siguientes:

1. Si $S:X\to Y$ es un operador acotado que es inyectivo y tiene rango cerrado, entonces el operador adjunto $S^*:Y^*\to X^*$ es suryectiva.
2. Si $S: X\to Y$ es un operador acotado que es suryectivo, entonces el operador adjunto $S^*:Y^*\to X^*$ es inyectiva.

Pruebas de las reclamaciones:

Para (1), puesto que $S$ es inyectiva y tiene rango cerrado, concluimos (a partir del teorema del mapa abierto) que $S$ está acotada por debajo, por lo que existe una constante $\delta>0$ para que $\delta\|x\|\leq\|Sx\|$ para todos $x\in X$ . Sea $\varphi\in X^*$ sea una función lineal acotada en $X$ . Definimos una función $\psi_o:\text{Im}(S)\to\mathbb{C}$ como $\psi_o(Sx)=\varphi(x)$ para todos $x\in X$ . Obsérvese que esto está bien definido, ya que $S$ es inyectiva. Además, está acotada, ya que $S$ está acotada por debajo: tenemos que $$|\psi_o(Sx)|=|\varphi(x)|\leq\|\varphi\|\cdot\|x\|\leq\|\varphi\|\cdot\delta^{-1}\cdot\|Sx\|$$ para todos $x\in X$ . Por el teorema de Hahn-Banach podemos extender $\psi_o$ a un funcional acotado (de la misma norma) $\psi\in Y^*$ . Ahora tenemos que $S^*(\psi)=\psi\circ S=\psi_o\circ S=\varphi$ Así que $S^*$ es efectivamente suryectiva.

Para (2), sea $\varphi\in Y^*$ sea una función tal que $S^*(\varphi)=0$ es decir $\varphi\circ S=0$ . Desde $S$ es suryectiva, tenemos que $\varphi(z)=0$ para todos $z\in Y$ Así que $\varphi=0$ .

Combinando estas dos: tenemos $T:X\to Y$ un operador inyectivo con rango cerrado. Por (1) el operador adjunto $T^*:Y^*\to X^*$ es suryectiva. Aplicando (2) a $T^*:Y^*\to X^*$ concluimos que $T^{**}:X^{**}\to Y^{**}$ es inyectiva. Espero que esto responda a tu pregunta.