Sea $f: \mathbb R^d \to \mathbb R^m$ una función de clase $C^1$. Es decir, $f$ es continua y su derivada existe y también es continua. ¿Por qué es $f$ localmente Lipschitz?
Tal $f$ no será Lipschitz globalmente en general, como muestra el ejemplo unidimensional $f(x)=x^2$: para este ejemplo, $|f(x+1)-f(x)| = |2x+1|$ es ilimitado.
Si $ f: \Omega \to {\mathbb R} ^ m $ es continuamente diferenciable en el conjunto abierto $ \Omega \subset {\mathbb R} ^ d $, entonces para cada punto $ p \in \Omega $ hay un vecindario convexo $ U $ de $ p $ tal que todas las derivadas parciales $ f_ {i.k}: = {\partial f_i \over \partial x_k} $ están acotadas por alguna constante $ M> 0 $ en $ U $. Usando la desigualdad de Schwarz uno puede probar fácilmente que $$ \| df (x) \| \leq \sqrt {dm} \> M =: L $$ para todo $ x \in U $. Ahora dejé $ a $, $ b $ ser dos puntos arbitrarios en $ U $ y considere la función auxiliar $$ \phi (t): = f \left (a + t (b-a) \right) \quad (0 \leq t \leq 1) $$ que calcula los valores de $ f $ a lo largo del segmento que conecta $ a $ y $ b $. Mediante la regla de la cadena obtenemos $$ f (b) - f (a) = \phi (1) - \phi (0) = \int_0 ^ 1 \phi '(t) \> dt = \int_0 ^ 1 df \left (a + t (b-a) \right) .(b-a) \> dt \ .$$ Dado que todos los puntos $ a + t (b-a) $ se encuentran en $ U $, tenemos $$ \left | df \left (a + t (b-a) \right) . (b-a) \right | \leq L \> | b-a | \quad (0 \leq t \leq 1) \>; $$ por lo tanto obtenemos $$ | f (b) - f (a) | \leq L \> | b-a | \ .$$ Esto prueba que $ f $ es Lipschitz-continua en $ U $ con una constante de Lipschitz $ L $.
Tengo una pequeña duda, ¿no es $df$ con respecto a $t$, entonces cómo podemos justificar la desigualdad?
@Teorema: $df\bigl(a+t(b-a)\bigr)$ es la derivada ("Jacobiano") de $f$, evaluada en el punto $a+t(b-a)\in U$.
Tal vez esto puede ayudar. La condición de Lipschitz a menudo proviene del Teorema del Valor Medio. Busca el enlace para el caso multivariable. El hecho de que $f$ sea $C^1$ te permite ver que cuando se restringe a un conjunto compacto, la diferencial está acotada. Por eso solo tienes una condición de Lipschitz local.
Una función se llama localmente Lipschitz continua si para cada x en X existe un vecindario U de x tal que f restringida a U es Lipschitz continua. De manera equivalente, si X es un espacio métrico localmente compacto, entonces f es localmente Lipschitz si y solo si es Lipschitz continua en cada subconjunto compacto de X. En espacios que no son localmente compactos, esta es una condición necesaria pero no suficiente. La función $f(x) = x^2$ con dominio todos los números reales no es Lipschitz continua. Esta función se vuelve arbitrariamente empinada a medida que x se acerca al infinito. Sin embargo, es localmente Lipschitz continua.
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Bueno, $x \mapsto x^2$ no es particularmente Lipschitz, ¿verdad? Parece que te falta ya sea un localmente o que $df$ debe estar acotado.
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@t.b. En algunos contextos, $C^1$ implica que $\sup |f| + \sup |df| < \infty$. (Al menos, cuando yo escribo $C^1(M,\mathbb{R}^k)$ con $M$ no compacto, eso es lo que quiero decir). Por supuesto, esto no es lo que escribió el OP en la nota al pie.
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Sí tienes razón. Me refería a localmente Lipschitz.
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@bass: utilizar que las funciones continuas están localmente acotadas.
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Primero reducimos al caso de valores escalares (esto es fácil). Luego, nota que $\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|=\left|\int_{0}^{1}\frac{d}{dt}f\left(tx+\left(1-t\right)y\right)dt\right|$. Luego usa la regla de la cadena y...