Problema del ortocentro triangular

Question

He encontrado un teorema escrito de forma torpe. ¿Es cierto este teorema?

Sea $ABC$ sea un triángulo y $DEF$ triángulo formado por los puntos base de las altitudes de $ABC$ . Entonces el centro de un círculo de $DEF$ es un ortocentro de $ABC$ .

¿Y esto se sostiene si $ABC$ es obtuso ya que no estoy seguro de cómo podemos definir los puntos base en caso de triángulo obtuso?

Answer 1

Sí. Este teorema es completamente cierto. Sea $D,E$ y $F$ son los puntos base de las altitudes que pasan de $C, B$ y $A$ respectivamente. Denotemos el ortocentro de $ABC$ como $H$ . En $\widehat{AFC}=\widehat{BEC}=90$ concluimos $HECF$ es un cuadrilátero inscrito. Por lo tanto $\widehat{HFE}=\widehat{HCE}$ . De la misma manera podemos demostrar $\widehat{HFD}=\widehat{HBD}$ . Pero observe como $DECB$ es un cuadrilátero inscrito(ya que $\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90$ ), por lo que $\widehat{DBE}=\widehat{DCE}$ y concluimos $\widehat{HFE}=\widehat{HFD}$ . Denotemos los puntos base de las altitudes que pasan de $H$ y ortogonal a $\overline{DE}, \overline{DF}$ y $\overline{EF}$ , $A',B'$ y $C'$ respectivamente.

$\widehat{HC'F}=\widehat{HB'F}=90$

$\widehat{HFE}=\widehat{HFD}$

por lo que concluimos $\widehat{FHC'}=\widehat{FHB'}$

Así que $HFC'$ es congruente con $HFB'$ como ASA (ángulo-lado-ángulo), por lo que $\overline{HC'}=\overline{HB'}$

De la misma manera podemos demostrar $\overline{HB'}=\overline{HA'}$ por lo que el teorema queda demostrado.

Ahora nota al caso, cuando el triángulo es obtuso

En este caso, el punto base se encuentra fuera del triángulo (de hecho resulta trazando líneas a lo largo de cada altitud). Como sabemos, y como se desprende de la imagen de abajo, cada triángulo tiene un círculo interior y tres círculos exteriores.

En este caso el ortocentro del triángulo $ABC$ es el centro de una de las circunferencias del triángulo $DEF$ . Su demostración es completamente similar al caso anterior, que el triángulo $ABC$ era agudo.