Ejercicio Hartshorne II.5.12(b)

Question

Llevo bastante tiempo trabajando en el ejercicio Hartshorne del título, que dice así: dejemos que $f : X \to Y$ y $g : Y \to Z$ sean morfismos de esquemas, $\mathscr{L}$ una gavilla invertible muy amplia sobre $X$ en relación con $Y$ y $\mathscr{M}$ una gavilla invertible muy amplia sobre $Y$ en relación con $Z$ . Demuestre que $\mathscr{L} \otimes f^*\mathscr{M}$ es una gavilla invertible muy amplia sobre $X$ en relación con $Z$ .

Después de quedarme atascado, he encontrado la afirmación correspondiente en EGA, a saber, la Proposición 4.4.10(ii). La razón por la que hago esta pregunta es que en EGA la afirmación se demuestra bajo algunas hipótesis (a saber, que $Z$ es cuasicompacta, $f$ es de tipo finito, y $g$ es cuasicompacta), y la conclusión es más débil: sólo se puede decir que existe $n \geq 0$ tal que $\mathscr{L} \otimes f^*(\mathscr{M}^{\otimes m})$ es muy amplio en relación con $Z$ para todos $m \geq n$ . Entonces, ¿está Hartshorne equivocado, o EGA utiliza hipótesis innecesarias para llegar a una conclusión débil (esto me parece más difícil de creer), o estoy malinterpretando una de las dos cosas?

Edito: hay otra posibilidad que se me acaba de ocurrir: Hartshorne comenta que EGA utiliza una definición ligeramente diferente de muy amplio, y habiendo consultado EGA veo que este es el caso. Así que debería ampliar mi pregunta para preguntar si esta es la razón de mi dificultad, y si es así, ¿qué diferencia hay?

Answer 1

En realidad creo que algo así como el cuasi-compacto de $Z$ es necesario (o al menos, no he sido lo suficientemente inteligente como para averiguar cómo hacerlo de otra manera), pero no realmente por las razones por las que Justin hizo la pregunta. Pero las hipótesis sobre $f,g$ parecen innecesarias

La respuesta de Stephen es completamente correcta si asumimos los morfismos $f \colon X \to Y$ y $g \colon Y \to Z$ son proyectivo es decir, $i \colon X \hookrightarrow \mathbb{P}^m_Z$ y $j \colon Y \hookrightarrow \mathbb{P}^n_Z$ son cerrado inmersiones, pero según Hartshorne, una gavilla es muy amplia si es inducida por el pullback de $\mathcal{O}(1)$ a través de una inmersión arbitraria, definida como la composición de una inmersión abierta seguida de una inmersión cerrada.

Esto tiene como consecuencia que la composición de dos inmersiones puede no ser una inmersión ya que la composición de una inmersión cerrada seguida de una inmersión abierta no es necesariamente una inmersión en el sentido de Hartshorne (véase [Stacks, Tag 01QW] -nótese la diferencia terminológica). Así pues, la composición $(1 \times \sigma) \circ (j \times 1) \circ i$ ¡en la respuesta de Stephen podría no ser una inmersión!

Hay algunas maneras de hacer que este ejercicio sea solucionable, sin tener en cuenta el hecho de que la definición de Hartshorne de muy amplio probablemente debería arreglarse:

a) Redefinir una inmersión para que sea lo que hay en EGA, es decir, una inmersión abierta seguida de una inmersión cerrada, lo que llamaré una inmersión "localmente cerrada" [EGAI, 4.1.3 y 4.2.1]. En este caso, la composición de dos inmersiones localmente cerradas es de nuevo una inmersión localmente cerrada según [EGAI, 4.2.5], por lo que el argumento de Stephen es válido. En particular, parece que las suposiciones sobre $f$ y $g$ son innecesarios para la declaración del problema con la definición de Hartshorne de muy amplio.

b) Supongamos que $j \colon Y \hookrightarrow \mathbb{P}^n_W$ es cuasicompacta. Factor $i \colon X \hookrightarrow \mathbb{P}^m_Z$ como $i = i_2 \circ i_1$ donde $i_2$ es una inmersión cerrada y $i_1$ es una inmersión abierta. Entonces, $(j \times 1)$ es cuasicompacta, por lo que $(j \times 1) \circ i_2$ es cuasicompacta, por lo que por [Pilas, Etiqueta 01QV] , $(j \times 1) \circ i_2$ es una inmersión, por lo tanto $(1 \times \sigma) \circ (j \times 1) \circ i_2 \circ i_1 = (1 \times \sigma) \circ (j \times 1) \circ i$ es una inmersión.

c) Supongamos $Z$ es localmente noetheriana (lo que concuerda con el uso que hace Hartshorne de las hipótesis noetherianas -véase p. 100). Entonces, $\mathbb{P}_Z^{mn+m+n}$ es localmente noetheriano, por lo que por [Stacks, Tag 01OX] una inmersión localmente cerrada en $\mathbb{P}_Z^{mn+m+n}$ es cuasicompacta, por lo que $(1 \times \sigma) \circ (j \times 1) \circ i_2$ es de nuevo cuasicompacta y estamos en la situación b).

Ahora la cuestión es cómo se relacionan estos supuestos con los de [EGAII, 4.4.10(ii)] que ha mencionado. ¿Es $g$ siendo cuasicompacto y $Z$ siendo cuasicompacto implican $j$ es cuasicompacta, por lo que estamos en la situación b)? No sé

Answer 2

Porque $Z$ y ${\bf Z}$ se parecen demasiado, voy a trabajar en su lugar con morfismos proyectivos $f:X \rightarrow Y$ y $g:Y \rightarrow W$ . Además, lo poco que tengo que decir sobre la diferencia entre EGA y Hartshorne lo pondré al final de esta respuesta (brevemente, Hartshorne no se equivoca y sospecho que las hipótesis en EGA son necesarias); a partir de ahora me voy a ceñir a las definiciones de Hartshorne.

Una forma natural de pensar en este problema es la siguiente: sabemos que $X$ se incrusta en algún espacio proyectivo sobre $Y$ y $Y$ se incrusta en algún espacio proyectivo sobre $W$ y que cada una de estas incrustaciones equipa su dominio con un haz de líneas particular (la restricción del haz de torsión para la incrustación). Estabilidad de las incrustaciones cerradas bajo cambio de base junto con la incrustación de Segre $$\sigma:{\bf P}_{\bf Z}^m \times {\bf P}_{\bf Z}^n \hookrightarrow {\bf P}_{\bf Z}^{mn+m+n}$$ implica que $X$ se incrusta en un espacio proyectivo sobre $W$ y simplemente nos queda la tarea de calcular el haz muy amplio para esta incrustación en términos de los datos con los que empezamos (de hecho, probando sólo que $X$ es proyectivo sobre $W$ sin llevar la cuenta de los paquetes correspondientes es el contenido del ejercicio II.4.9 de Hartshorne). Los detalles figuran en el párrafo siguiente.

Obsérvese en primer lugar que la incrustación cerrada $j:Y \hookrightarrow {\bf P}_W^n$ de la que partimos da, por extensión de base, una incrustación cerrada $$(j \times 1):{\bf P}^m_Y=Y \times_{{\bf Z}}{\bf P}^m_{{\bf Z}} \hookrightarrow (W \times_{\bf Z} {\bf P}^n_{\bf Z}) \times_{\bf Z} {\bf P}^m_{\bf Z}.$$ Del mismo modo, el cambio de base de la incrustación Segre $\sigma:{\bf P}_{\bf Z}^m \times {\bf P}_{\bf Z}^n \hookrightarrow {\bf P}_{\bf Z}^{mn+m+n}$ da una incrustación cerrada $$(1 \times \sigma):W \times_{\bf Z} {\bf P}^n_{\bf Z} \times_{\bf Z} {\bf P}^m_{\bf Z} \hookrightarrow {\bf P}^{mn+m+n}_W$$ y componiéndolos con la incrustación dada $i:X \hookrightarrow {\bf P}^m_Y$ hemos obtenido una incrustación cerrada $$(1 \times \sigma) \circ (j \times 1) \circ i :X \hookrightarrow {\bf P}^{mn+m+n}_W.$$ Una rutina de búsqueda de diagramas (utilizando las compatibilidades de $i$ y $j$ con $f$ y $g$ ) muestra que componiendo esta incrustación con la proyección sobre $W$ da el mapa $g \circ f$ demostrando que $g \circ f$ es un morfismo proyectivo.

Ahora usemos los hechos de que (1) el pullback por la incrustación de Segre $\sigma$ de $\mathcal{O}(1)$ es el producto tensorial $\pi_1^* \mathcal{O}(1) \otimes \pi_2^* \mathcal{O}(1)$ de las láminas de torsión de los factores, y (2) el pullback de un producto tensorial es el producto tensorial de los pullbacks para calcular $$((1 \times \sigma) \circ (j \times 1))^* \mathcal{O}(1)=\pi^* \mathscr{M} \otimes \mathcal{O}(1), \quad \hbox{where $ \pi:{\bf P}^m_Y \rightarrow Y $ is the projection,}$$ y luego $$i^*(\pi^* \mathscr{M} \otimes \mathcal{O}(1))=f^* \mathscr{M} \otimes \mathscr{L}$$ como desee.

Como probablemente sepas, la diferencia más significativa entre la definición de Harthshorne y la definición EGA de morfismo proyectivo es que Hartshorne requiere que el mapa dado provenga de una incrustación en algún haz espacial proyectivo trivial, mientras que EGA permite la "torsión", es decir, sólo requiere que el morfismo provenga de una incrustación de la forma $X \hookrightarrow P$ donde $P$ es el haz proyectivo asociado a algún cuasi-coherente $\mathcal{O}_Y$ -(esta última me parece una generalidad más natural, pero aquí nos encontramos en una situación en la que parece complicar la declaración de algunos hechos básicos). Así que, como sospechabas, no hay contradicción evidente.