Trayectoria del proyectil con arrastre del aire

Question

Dadas las siguientes ecuaciones y valores, Encuentre un valor inicial de theta para maximizar el alcance horizontal con arrastre de aire.

$f(x)=\tan(\theta)*x-16+(x/(200*\cos(\theta))^2$ altura sin arrastre de aire $g(x)=\tan(\theta)*x+(32/(k*200*\cos(\theta)))*x-(32/k)*\ln(200*\cos(\theta)/(200*\cos(\theta)-x))$ altura con arrastre de aire $k=1/24$

He descubierto que theta cambia con el tiempo y afecta a las componentes horizontal y vertical de la resistencia del aire. La velocidad inicial es 200. La gravedad es -16. Mis próximos pasos son utilizar conceptos de ecuaciones diferenciales y álgebra lineal para establecer un sistema matricial de ecuación para encontrar el rango horizontal en términos de theta.

Answer 1

Parto de la ecuación vectorial $$m\mathbf a=m\mathbf g-mk\mathbf v$$ que describe el movimiento de un proyectil, debido a la gravedad y a una fuerza de resistencia proporcional a la velocidad.
El movimiento es planar con el plano de la trayectoria paralelo a $\mathbf g$ .
Elegido un marco de referencia natural con el punto de proyección como origen y denominado $v_0$ la velocidad inicial y $\theta$ la dirección de proyección, se encuentra la ecuación cartesiana de la trayectoria $$y=x \tan \theta+x \frac g{k\,v_0\cos \theta}+\frac g{k^2}\ln\left(1-x\frac k{v_0 \cos \theta}\right)$$ Los valores distintos de cero $x$ -solución de la ecuación $y=0$ indica el alcance de la proyección.
Porque $y=0$ define (implícitamente) el rango $x$ en función de $x(\theta)$ diferencie la ecuación con respecto a $\theta$ y resolver con respecto a $x'(\theta)$ poniéndolo igual a cero para obtener el valor estacionario de $x(\theta)$ .
Usted tiene $$x(kv_0+g\sin \theta)-v_0^2\cos \theta=0$$ Si a esto le añadimos $y=0$ y resolver el sistema mediante un método numérico.
Usted encuentra por un CAS que el alcance máximo $x$ es $1003.53\,$ para $\,\theta=41.85$ °.
(datos: $g=32,\,v_0=200,\,k=1/24\;$ en unidades de ingeniería británicas).

Tenga en cuenta que $\theta=45$ ° es el valor del alcance máximo si el movimiento no es resistivo.