Aplicación del teorema de Borsuk-Ulam

Question

Como consecuencia del teorema de Borsuk-Ulam para $2$ caso dimensional, sabemos que

En $S^2$ se expresa como la unión de tres conjuntos cerrados $A_1,A_2$ y $A_3$ entonces al menos uno de estos conjuntos debe contener un par de puntos antipodales $\{x,-x\}$ .

Creo que esta afirmación sigue siendo válida para "dos" conjuntos cerrados (no para "tres" conjuntos cerrados). Pero, ¿cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Es cierto, y relativamente fácil de demostrar dado el resultado anterior.

Si $S^2 = A_1 \cup A_2$ donde $A_1, A_2$ son cerradas, entonces elija alguna $A_3$ que definitivamente no contenga un par de puntos antípodas (por ejemplo, que $A_3$ sea un conjunto único). Entonces $S^2 = A_1 \cup A_2 \cup A_3$ y $A_1, A_2, A_3$ son cerradas, así que por el resultado anterior, $A_1$ , $A_2$ o $A_3$ debe contener un par de puntos antípodas. Dado que $A_3$ definitivamente no contiene tal par, debe ser cierto de $A_1$ o $A_2$ .