Elevación de idempotentes de un cociente de un álgebra de Banach

Question

En un cociente de un álgebra de Banach $A$ si un elemento invertible está conectado a la identidad por un camino continuo de invertibles, entonces puede ser elevado a un elemento invertible en $A$ . ¿Existe un resultado análogo para los idempotentes o, al menos, algo que se aproxime a la afirmación correspondiente para los idempotentes, como la elevación de los idempotentes a elementos casi idempotentes en $A$ ?

La situación concreta en la que me encuentro es la siguiente. Sea $e\in A$ sea casi idempotente en el sentido de que $||e^2-e||<\varepsilon$ (donde $\varepsilon$ es muy pequeño). Sea $q:A\rightarrow A/J$ sea el homomorfismo del cociente. Supongamos que $q(e)$ está conectado a $0\in A/J$ por un camino continuo $(p_t)_{t\in[0,1]}$ donde $||p_t^2-p_t||<\varepsilon$ para cada $t$ . Un supuesto adicional puede ser que exista un mapa lineal contractivo (pero no necesariamente multiplicativo) $s:A/J\rightarrow A$ tal que $q\circ s=id_{A/J}$ . Puede $p_t$ a un elemento casi idempotente en $A$ con posiblemente mayores $\varepsilon$ ? Posiblemente otra forma de ver esto es si un $\varepsilon$ -idempotente en $C([0,1],A/J)$ puede elevarse a un $N\varepsilon$ -idempotente en $C([0,1],A)$ para algunos $N$ .

Answer 1

Puede que el resultado sea tan contundente como le gustaría o que no vaya necesariamente en la dirección correcta, pero espero que le sirva de ayuda.

Véase el Lemma 2.1 en la página 411 del libro de Larson " Álgebras nido y transformaciones de similitud " en los Anales de Matemáticas de 1985. Como menciona Larson, se trata de una generalización de un resultado estándar.

Básicamente este resultado dice que para un álgebra de Banach $\mathcal{A}$ con Jacobson radical $\mathcal{R}$ y cualquier ideal $\mathcal{R}_0$ de $\mathcal{A}$ que está contenida en el radical de Jacobson, entonces si la imagen de $A \in \mathcal{A}$ en $\mathcal{A}/\mathcal{R}_0$ es idempotente, entonces hay un idempotente $P \in \mathcal{A}$ que conmuta con $A$ y tiene la misma imagen en el álgebra cociente.

En particular, cualquier idempotente en $\mathcal{A}/\mathcal{R}_0$ ascensores a $\mathcal{A}$ .

Editar

El resultado esperado por el PO no existe en general, ni siquiera para $C^*$ -álgebras. En efecto, consideremos la conmutativa $C^*$ -álgebra $\mathcal{A} = C([0,1])$ de funciones continuas sobre $[0,1]$ y el ideal $\mathcal{J} = C_0((0,1))$ de funciones continuas que desaparecen tanto en cero como en uno.

Obsérvese que los únicos idempotentes de $\mathcal{A}$ son los triviales, es decir, la identidad y el cero (puesto que un idempotente en esta álgebra sólo toma los valores cero y uno, es una función continua, y $[0,1]$ está conectado). Sin embargo, si $f$ es cualquier función continua sobre $[0,1]$ con $f(0)=0$ y $f(1)=1$ entonces la imagen de $f$ es idempotente en $\mathcal{A}/\mathcal{J}$ desde $f^2-f \in \mathcal{J}$ . Además, cualquier elemento $g \in \mathcal{A}$ que mapea a este idempotente satisface $f-g \in \mathcal{J}$ y, por lo tanto $g(0) = f(0) = 0$ y $g(1) = f(1) = 1$ y así por las observaciones anteriores, $g$ no puede ser idempotente.

Tal vez una forma mejor de comprender los resultados del párrafo anterior sea que $\mathcal{A}/\mathcal{J}$ es naturalmente isomorfo a $C(\{0,1\})$ un álgebra con cuatro idempotentes. Dado que $\mathcal{A}$ sólo tiene dos idempotentes, no todos los idempotentes del cociente pueden elevarse.

Quizás también de interés en relación con esta discusión y la anterior a la edición: $C^*$ -tienen radical de Jacobson trivial (véase el último punto).