Demostrando que esta expresión exponencial es positiva

Question

Estoy mirando

$$ f(x) = e^x (x-1) + 1$$

Tengo la sensación (basada en la aplicación que estoy usando), que $f(x)$ debe ser estrictamente positivo para $x > 0$. De hecho, Wolfram Alpha lo parcelas como tal, con un mínimo global de ($f(0)x=0$).

Sin embargo, no muestran esto. Es trivial para $x \geq 1$, pero ¿para qué $x < 1$?

Answer 1

$f'(x)=x \, e^x > 0$ $x>0$, estrictamente está aumentando así $f$ $[0,\infty)$.

Answer 2

Desde $$ e ^ x\ge 1 + x $$ y así también $$ e ^ {-x} \ge 1 x $$ uno $$ f (x) = e ^ x (e^{-x}-(1-x)) \ge 0. $$

Answer 3

$x\in(0,1)$, Es equivalente a la desigualdad $e^x (x-1)+1 > 0$: $$ e^x < \frac{1}{1-x} \tag{1}$ $ a: %#% $ #% que es trivial.

Answer 4

$$f^{'}(x)=e^{x}x$ $ la derivada es positiva para $x>1$ y así está aumentando. Creo que usted tiene duda acerca de $x<1$. Así que tienes dos respuestas.

1. gama de (0,1) que va en aumento, ya que la derivada es positiva.

2. De $ (-\infty,0)$ que está disminuyendo desde $ e^{x}x$ llega a ser negativa.