Sistema no homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales

Question

¿Qué debo hacer si tengo un sistema de ecuaciones lineales y su matriz es singular? ¿Cómo puedo encontrar las soluciones generales ya que no puedo encontrar un estado estacionario?

Ejemplo:

$$x'= ax - ay + 1$$

$$y' = -ax + ay - 1$$

Answer 1

Un método que encuentro eficiente es desacoplar el sistema mediante diagonalización, que funciona para una ecuación diferencial de la siguiente forma, siempre que $A$ es diagonalizable: $$\frac{d\vec{\mathbf{x}}}{dt}=A\vec{\mathbf{x}}+\vec{\mathbf{f}}(t) \tag{1}$$

En tu caso, sí: $$A=\begin{bmatrix} a & -a \\ -a & a \end {bmatrix} \qquad \vec{\mathbf{f}}(t)=\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}\qquad \vec{\mathbf{x}}=\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$$

Podemos escribir $A$ de la forma $A=PDP^{-1}$ donde $D$ es una matriz diagonal y $P$ es invertible. Por lo tanto, por la sustitución $\vec{\mathbf{x}}(t)=P\vec{\mathbf{u}}(t)$ podemos escribir $(1)$ como: $$\frac{d\vec{\mathbf{u}}}{dt}=D\vec{\mathbf{u}}+P^{-1}\vec{\mathbf{f}}(t) \tag{2}$$ Desde $D$ es una matriz diagonal, nuestro sistema estará desacoplado.

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Diagonalizar $A$ obtenemos: $$P=\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \qquad D=\begin {bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2a \end {bmatrix}\qquad P^{-1}=\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$$ Por lo tanto, de $(2)$ debemos resolver lo siguiente: $$\begin{cases} u_1'=0 \\ u_2'=2au_2-1 \end{cases}$$ La primera es esencialmente trivial, y la segunda es una EDO separable. Se puede obtener $x(t)$ y $y(t)$ utilizando la sustitución que hemos realizado, es decir $\vec{\mathbf{x}}(t)=P\vec{\mathbf{u}}(t)$ : $$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \end {bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_1 \\ k_2 e^{2at}+\frac{1}{2a} \end {bmatrix}$$ Multiplying the two matrices on the RHS gives us the general solution we require: $$\begin{align} x(t)=k_1-k_2 e^{2at}-\frac{1}{2a} \\ y(t)=k_1+k_2 e^{2at}+\frac{1}{2a} \end{align}$$

Answer 2

Suma las ecuaciones para obtener $$(x+y)' = 0$$

así que

$$x+y = C$$

para una constante $C$ . Ahora sustituye $y=C-x$ para darle un ODE ordinario

$$x' = 2ax - aC + 1$$

con solución $$x(t) = \frac{aC-1}{2a} + D e^{2at}$$

donde $D$ es una constante de integración.

Para una ecuación general, puedes probar el mismo truco: intenta formar una combinación lineal de las variables.