Norma de contragredientes de representaciones unitarias de grupos cuánticos compactos

Question

Tal vez la respuesta a la siguiente pregunta sea conocida, pero no consigo encontrarla en la bibliografía. De todos modos, permítanme comenzar mi pregunta fijando algunas notaciones y términos.

Sea $G = (A, \Delta)$ sea un grupo cuántico compacto en el sentido de Woronowicz. Para una representación unitaria de dimensión finita $U \in B(H) \otimes A$ de $G$ el contragrediente $U^c$ de $U$ es la representación $(j \otimes \operatorname{Id})(U^*) \in B\bigl(\overline{H}\bigr) \otimes A$ de $G$ donde el espacio portador $\overline{H}$ es el espacio de Hilbert conjugado del espacio de Hilbert de dimensión finita $H$ y $j : B(H) \to B\left(\overline{H}\right)$ el $\ast$ -envío de antiisomorfismo $T$ a $\overline{T^*}$ este último denota el operador $\overline{\xi} \mapsto \overline{T^* \xi}$ en $\overline{H}$ . Defina $c(G)$ sea el supremum de todos los $\| U^c \|$ donde $U$ recorre todas las representaciones unitarias de dimensión finita (por supuesto, bastan las irreducibles) de $G$ .

Está claro que si $G$ es de tipo Kac, entonces $c(G) = 1$ como $U^c$ en lo anterior es siempre unitaria. Con un poco de esfuerzo, puedo demostrar que $c(G) = +\infty$ para $G = SU_q(2)$ con $-1 < q \ne 0 < 1$ pero si $c(G) = +\infty$ para el tipo general no-Kac $G$ parece más delicado, lo que me lleva a preguntar lo siguiente

Pregunta. En $c(G) < +\infty$ implica $G$ ser de tipo Kac?

Como ya hay muchos resultados relativos a la caracterización de los grupos cuánticos compactos de tipo Kac, es muy posible que esta cuestión ya esté resuelta, en cuyo caso, agradezco una referencia a la bibliografía.

Answer 1

Sí, $c(G) < +\infty$ implica que $G$ es de tipo Kac. Hasta donde yo sé, este resultado no está en la literatura, pero se puede demostrar de la siguiente manera.

Sea $h$ sea el estado Haar. Para cada representación unitaria irreducible $u \in M_n(\mathbb{C}) \otimes A$ existe un único $Q_u \in M_n(\mathbb{C})$ con $\operatorname{Tr}(Q_u) = \operatorname{Tr}(Q_u^{-1})$ y dando las relaciones de ortogonalidad $$h(u_{ij} u_{kl}^*) = \delta_{i,k} \, (Q_u)_{jl} \, \operatorname{Tr}(Q_u)^{-1} \; .$$ Tenga en cuenta que $G$ es de tipo Kac si y sólo si $Q_u = 1$ para todas las representaciones unitarias irreducibles $u$ . Este positivo $Q_u$ también unitariza $u^c$ . Definiendo primero la matriz $u^c \in M_n(\mathbb{C}) \otimes A$ por $(u^c)_{ij} = (u_{ij})^*$ obtenemos que $(Q_u^{1/2} \otimes 1) u^c (Q_u^{-1/2} \otimes 1)$ es una representación unitaria que denotamos como $\overline{u}$ . Este es el contragrediente unitario de $u$ .

Proposición. Las siguientes afirmaciones son equivalentes.

1. $G$ es de tipo Kac.

2. Existe un $C > 0$ tal que $\|Q_u\| \leq C$ para cada representación unitaria irreducible $u$ .

3. Existe un $C > 0$ tal que $\|u^c\| \leq C$ para cada representación unitaria irreducible $u$ .

Prueba. En $u$ es una representación unitaria de dimensión finita arbitraria, aún podemos definir canónicamente $Q_u$ descomponiendo $u$ como una suma de irreducibles. Tenemos $Q_{u \otimes v} = Q_u \otimes Q_v$ . También, $Q_{\overline{u}} = Q_u^{-1}$ . Para toda representación unitaria $u \in M_n(\mathbb{C}) \otimes A$ denotamos $\dim u = n$ y $\dim_q u = \operatorname{Tr}(Q_u)$ . Las relaciones de ortogonalidad dicen entonces que $$(\mathord{\text{id}} \otimes h)((u^c)^* u^c) = \frac{\dim u}{\dim_q u} \, Q_u \; .$$

1 $\Rightarrow$ 2 es trivial.

2 $\Rightarrow$ 3. Puesto que $Q_{\overline{u}} = Q_u^{-1}$ Además $\|Q_u^{-1}\| \leq C$ . Por definición, $\|u^c\| \leq C$ para cada representación unitaria irreducible $u$ .

3 $\Rightarrow$ 1. Supongamos que $G$ no es de tipo Kac. Corrige $C > 0$ . Construimos una representación unitaria irreducible $u$ con $\|u^c\| > C$ .

Desde $G$ no es de tipo Kac, podemos elegir un $n$ -representación unitaria irreducible dimensional $v$ tal que $Q_v \neq 1$ . Defina $q_{\max}$ como el mayor valor propio de $Q_v$ . Desde $Q_v \neq 1$ obtenemos que $\operatorname{Tr}(Q_v) < q_{\max} \, n$ . Tome un número entero $k \geq 1$ tal que $(\operatorname{Tr}(Q_v)^{-1} \, q_{\max} \, n)^k > C^2$ . Defina $w$ como el $k$ -potencia tensorial doble de $v$ . Entonces, $$(\mathord{\text{id}} \otimes h)((w^c)^* w^c) = \frac{\dim w}{\dim_q w} \, Q_w = \Bigl(\frac{\dim v}{\dim_q v}\Bigr)^k \, Q_v^{\otimes k} \; .$$ Por construcción, la norma del operador del lado derecho es estrictamente mayor que $C^2$ . La norma del operador del lado izquierdo es el máximo de $\| (\mathord{\text{id}} \otimes h) ((u^c)^* u^c)\|$ donde $u$ recorre las subrepresentaciones irreducibles de $w$ . Por lo tanto, existe un irreducible $u$ tal que $\| (\mathord{\text{id}} \otimes h) ((u^c)^* u^c)\| > C^2$ . De ello se deduce que $\|u^c\| > C$ .