Pruebas $\pi(x) > c \ln(x)$

Question

Dada:

a) Todo número entero puede ser factorizado en el producto de un número sin cuadrado (uno no divisible por el cuadrado de un primo) y un cuadrado perfecto;

b) Si existen exactamente r primos, entonces existen exactamente $2^r$ números sin cuadrado; y

c) $n>2^r\sqrt{n}$ demuestre que $\pi(x) > c \ln{x}$ para una constante absoluta $c$ .

Estoy bastante perplejo, así que agradecería cualquier consejo. Empecé a tratar de hacerlo con el conocimiento de que $\ln{x} < x$ pero no sabía cómo introducir $\pi(x)$ .

Edición: He probado las partes a y b, sólo busco consejo sobre la parte c.

Answer 1

A) se deduce de la factorización única: supongamos que tenemos $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_j^{a_j}$ donde el $p_i$ son primos distintos y el $a_i$ son números enteros $\ge1$ . Entonces $a_i$ es par, por lo que $p_i^{a_i}$ es un cuadrado perfecto $=(p_i^{a_i/2})^2$ o es impar, en cuyo caso $p_i^{a_i-1}$ es un cuadrado perfecto $=(p_i^{(a_i-1)/2})^2$ (o $1$ si $a_i=1$ ).

Sea $O\subset \{1, 2, \ldots, j\}$ sea el conjunto de índices $i$ para lo cual $a_i$ es impar. Si $O=\emptyset$ entonces $n$ es un cuadrado perfecto y hemos terminado. Si no, tenemos $n'=\prod_{i\in O} p_i$ sin cuadrados, y $n/n'$ un producto de cuadrados perfectos.

Tal vez b) signifique "si te dan $r$ primos, entonces hay exactamente $2^r-1$ números libres de cuadrados divisibles por uno o más de estos primos".