Diferencia entre discretización y cuantización en física

Question

Sólo intento comprender la diferencia fundamental entre estos dos conceptos en física:

• De la discreción de alguna cantidad: se suele interpretar como que una cantidad sólo puede tomar un conjunto distinto de valores, y no todos los valores posibles como sería posible para una cantidad con un espectro continuo, por ejemplo, la posición. Por otra parte, todos los problemas computacionales de la física (por ejemplo, los numéricos) se realizan mediante un proceso de discretización, en el que el espectro continuo de valores se convierte en uno discreto mediante la elección de un espaciado (por ejemplo, en las técnicas de integración). Pero, por otro lado, también se utiliza el término discreto cuando se hace referencia a los valores, por ejemplo, de un espín $+\frac{1}{2} /-\frac{1}{2}$ que puede tomar el sistema, a saber, espín arriba y espín abajo, pero no decimos que el espín esté cuantizado. (¿o sí?)

• En cuantificación : Lo más común es la idea de cuantos de energía, que vienen en paquetes discretos de energía $\hbar \omega,$ Por ejemplo, al resolver el conjunto de valores propios posibles para el átomo de hidrógeno, y descubrir así un conjunto discreto de valores de energía que difieren siempre en una cantidad integral de un determinado cuanto, por lo que uno se refiere aquí a la energía como cuantificada. Por otra parte, cuantización es también un término utilizado en QFT, cuando se describe en un nivel fundamental lo que define la imagen de partículas "primera cuantización" y la descripción de ondas "segunda cuantización".

Mis preguntas son:

1. ¿Es cierto que la cuantización, o más concretamente que una cantidad en física esté cuantizada, implica discreción? ¿O se trata de una comparación completamente absurda desde el punto de vista conceptual?

2. Formulado de otro modo, ¿por qué sería incorrecto llamar al espectro de energía del átomo de hidrógeno (digamos) "discretizado" en lugar de "cuantizado"?

3. ¿Son estos conceptos intercambiables en algún momento, o son siempre fundamentalmente diferentes?

4. En pocas palabras, la pregunta sería: ¿Por qué llamarla "Mecánica Cuántica" y no "Mecánica Discreta"?

Pido disculpas por el carácter vago de este post, mi objetivo es únicamente comprender la diferencia fundamental de estos dos conceptos en física.

Answer 1

La cuantificación no implica discreción. Si se ha cuantificado un sistema, sólo queremos decir que hemos tomado el conjunto de estados y lo hemos sustituido por un espacio vectorial de estados. En otras palabras, en mecánica cuántica se pueden añadir estados, lo que permite que un sistema esté en dos estados "a la vez". Las cantidades observables se convierten en ciertos operadores que actúan sobre este espacio vectorial de estados.

Como puede ver, esto no tiene nada que ver, a primera vista, con la discretización. Pero resulta que muchos de los operadores que nos interesan tienen valores propios discretos, lo que implica que los valores físicos correspondientes son discretos. La posición, sin embargo, tiene un espectro continuo, al igual que muchos otros observables cuánticos.

Hay muchas fuentes que explican exactamente cómo Se pasa de los conjuntos clásicos de estados y observables numéricos a los estados cuánticos (espacios vectoriales, en particular los espacios de Hilbert) y observables cuánticos (operadores). Todo lo que diré es que la cuantificación es un gran proceso matemático que sustituye un montón de cosas clásicas por cosas cuánticas, y esto a veces lleva a discretizar determinadas magnitudes físicas.

Answer 2

Olvídese por un momento de las cuestiones lingüísticas. La característica crucial de la mecánica cuántica es interferencia cuántico-mecánica de amplitudes de probabilidad que la mayoría de la gente entiende como un fenómeno ondulatorio (pero puede describirse de forma más elegante y conceptualmente limpia en términos de operaciones matriciales no conmutativas). Un simple consecuencia de ello es que los espectros (conjuntos de valores propios) de los operadores que representan magnitudes físicas (observables) son a menudo, pero no siempre discreto. (Pensemos en los espectros de la ecuación de ondas, etc.) Los espectros de energía cuantizada fueron el rompecabezas original que llevó a los físicos de principios del siglo XX a aferrarse a la discreción, ya que la mecánica clásica para tales cantidades carecía de ella. Por eso se utilizó el nombre de "cuántica", pero otras personas que trabajaban en la representación de Schroedinger la llamaban "mecánica ondulatoria".

Por el contrario, la discretización de problemas clásicos colocándolos en una red de aproximación nocional no producirá, en general, fenómenos de interferencia QM. La discretización es sólo una aproximación esquemática de análisis numérico de sistemas continuos.

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Ahora sus preguntas:

1. Cuantización frecuente confía en en la discreción, por lo que los métodos matriciales de las matemáticas discretas son bastante útiles allí, pero su característica sobresaliente es la interferencia QM de amplitudes, no sólo las estructuras discretas. Después de todo, incluso las ecuaciones de valores propios de la batería clásica implican tales estructuras matemáticas discretas y valores propios cuantizados (e incluso modos de interferencia, pero no ondas de probabilidad). Es el extraño marco probabilístico que hace QM.

2. Está bien llamar "discreta" a la parte discreta del espectro de energía de un sistema, pero su parte continua, de dispersión, por supuesto debería llamarse "continua", aunque , también forma parte del espectro cuántico.

3. Es una idea terrible mezclar estos conceptos. Te invitarías a miradas, incomprensión e incomodidad.

4. En pocas palabras, porque no siempre es discreto, y no reflejaría la característica más destacada de la que parte esta respuesta.

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Aparte : Momento angular y espín son observables cuantizados en QM, y nosotros do llamarlos así. (Su cuantización no es una cuestión de conveniencia del análisis numérico: se comportan de formas no conmutativas genuinamente peculiares).

Answer 3

En mecánica cuántica, encuadernado (es decir, estados propios energéticos cuya energía es inferior al valor límite del potencial como $|{\bf x}| \to \infty$ cuyas funciones de onda decaen exponencialmente a grandes ${\bf x}$ ) suelen tener niveles de energía discretos, mientras que los estados de dispersión (cuyas funciones de onda suelen aproximarse a $e^{ikr}/r^\frac{d-1}{2}$ en $d$ dimensiones espaciales) tienen espectros de energía continuos. Por tanto, la cuantización no implica necesariamente discreción.

Answer 4

Son conceptos muy diferentes. Hay observables continuos y observables cuantizados. Una cantidad cuantizada sólo puede tomar valores discretos. Por otro lado, todas las medidas se realizan sólo con finito precisión. Así pues, cada observable sólo puede medirse con una precisión finita, independientemente de su carácter continuo o cuantizado.

Sea $A$ sea un observable. Hay cuatro casos:

• $A$ está cuantizada y la precisión es tal que podemos reconocerlo;
• $A$ está cuantizada pero la precisión es mala y los datos experimentales concuerdan con la hipotesis " $A$ es continua";
• $A$ es continua, pero la precisión es mala y aparece como cuantizada;
• $A$ es continuo y la precisión es suficiente para verlo.

En cada caso, $A$ es discreto en el sentido de que toda prueba sólo puede hacerse con una precisión finita. Las pruebas con una precisión cada vez mayor permiten percibir la naturaleza real de $A$ es decir, la que mejor se ajusta al modelo teórico del sistema físico.

Tenga en cuenta que no es necesario una mala precisión conduce a conjeturas $A$ está cuantizada o es continua. Por ejemplo, tratando con una lista de valores experimentales de $A$ puede ocurrir que no aparezca ninguna prueba que permita suponer una naturaleza cuantizada para $A$ .

Por ejemplo, que los niveles de energía del átomo de hidrógeno están cuantizados es un hecho experimental, codificado en el modelo teórico. La teoría se desarrolla de tal manera que el Hamiltoniano del átomo de hidrógeno permite valores propios cuantizados. Este resultado se oculta si la precisión es escasa y se verifica si la precisión es suficientemente buena.

Por lo tanto, la discreción y la cuantización son irreales como cuestión de principio, pero están entrelazadas como cuestión de hecho (es decir, en la práctica experimental).

Answer 5

La cuantificación no implica discreción. De hecho, ocurre lo contrario, son conceptos muy diferentes. Parte de la respuesta está en la definición de "discreto". Ejemplos prácticos:

Cuantificación : Considera el fotón como paquetes discretos de energía ℏω como se menciona en la pregunta. Utilizando esta ecuación y la velocidad fija de la luz, un fotón "rojo" tiene 1,97 eVoltios de energía, oscila 4,76*10^14 veces por segundo y recorre 630 nanómetros en una oscilación. Un fotón "naranja" tiene 2,03 eVoltios de energía, oscila 4,91*10^14 veces por segundo y recorre 611 nanómetros en una oscilación. Un fotón "amarillo" tiene 2,09 eVoltios de energía, oscila 5,05*10^14 veces por segundo y recorre 593 nanómetros en una oscilación.

Nunca verás un fotón de 1,97 eV oscilando a una velocidad diferente. Los fotones de alta energía oscilan rápido, los de baja energía, lento. Aunque cada fotón es efectivamente "discreto" en el sentido de que es una sola unidad, NO es "discreto" en el sentido de que puede tomar "cualquier valor" en el rango continuo de energía que va desde los mini-evoltios a los mega-evoltios.

Discreción : Consideremos la molécula de hidrógeno. Debido a la estructura de la molécula de hidrógeno, el electrón está unido al protón en niveles de energía muy específicos. Al romper o reajustar estos enlaces, puede que se emita un fotón de 10,2 eV, o que se emita un fotón de 1,89 eV, o que se emita un fotón de 12,1 eV. Estos son niveles de energía muy "discretos" y no pueden tomar "cualquier valor". Nunca se vería, por ejemplo, un fotón de 5,123 eV emitido por el hidrógeno debido a la ruptura de un enlace electrónico.

Además, la primera cuantificación se ocupa de las propiedades de los fotones individuales, mientras que la segunda cuantificación se ocupa de las propiedades de los grupos de fotones que viajan juntos.